Question

△ABC中，點D在邊AB上，CD平分∠ACB，CB=1，CA=3，

CA

•

CB

=2，則CD=（　　）

• A、

  30

  4

• B、

  6

  2

• C、

  15

  8

• D、

  3

  2

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：利用向量的數(shù)量積，求出cos∠ACB，再利用倍角公式，求出cos∠ACE，結(jié)合三角形的相關(guān)知識，即可求出CD．

解答： 解：延長CB至點F，使CF=CA=3，連接AF，并延長CD交AF于點E，過點E作AB的平行線交CF于H．
∵

CA

•

CB

=2，CB=1，CA=3
∴cos∠ACB=

2

3

∵∠ACE=

1

2

∠ACB
∴cos2∠ACE=

1+cos∠ACB

2

=

5

6

∵∠ACE為銳角
∴cos∠ACE=

30

6

∵CD平分∠ACB，CA=CF=3
∴CE⊥AF，AE=EF
又∵EH∥BD
∴CD=

1

2

CE
∵CE=AC×cos∠ACE=3×

30

6

=

30

2

∴CD=

30

4

故選：A

點評：本題考察了向量的數(shù)量積的定義及相關(guān)公式，結(jié)合倍角公式和三角形的相關(guān)知識，有一定的難度，屬于難題！