Question

11．已知M（-$\sqrt{3}$b，0），N（$\sqrt{3}$b，0）（b＞0），P是曲線C上的動點，直線PM的斜率與直線PN的斜率的積為-$\frac{1}{3}$．
（1）求曲線C的方程；
（2）直線l：y=x-$\sqrt{2}$b與曲線C相交于A、B，設(shè)O為坐標系原點，$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，證明：λ²+μ²是定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)p（x，y），∵直線PM的斜率與直線PN的斜率的積為-$\frac{1}{3}$得$\frac{y}{x+\sqrt{3}b}×\frac{y}{x-\sqrt{3}b}=-\frac{1}{3}$，得x²+3y²=3b²，
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\sqrt{2}b}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3^{2}}\end{array}\right.$得4${x}^{2}-6\sqrt{2}bx+3^{2}=0$，
${x}_{1}{x}_{2}+3{y}_{1}{y}_{2}=4{x}_{1}{x}_{2}-3\sqrt{2}{x}_{1}{x}_{2}+6^{2}\\;\\;\\;\\;\\;\$=3b²-9b²+6b²=0，由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，得x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，代入x²+3y²=3b²得，${λ}^{2}（{{x}_{1}}^{2}+3{{y}_{1}}^{2}）+{μ}^{2}（{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）+$2λμ（${x}_{1}{x}_{2}+3{y}_{1}{y}_{2}）=3^{2}$=3b²，得λ²+μ²=1（定值）

解答 解：（1）設(shè)p（x，y），∵直線PM的斜率與直線PN的斜率的積為-$\frac{1}{3}$
∴$\frac{y}{x+\sqrt{3}b}×\frac{y}{x-\sqrt{3}b}=-\frac{1}{3}$，得x²+3y²=3b²，
∴曲線C的方程為：x²+3y²=3b²
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），∴x₁²+3y₁²=3b²，x₂²+3y₂²=3b²，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\sqrt{2}b}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3^{2}}\end{array}\right.$得4${x}^{2}-6\sqrt{2}bx+3^{2}=0$，
∴${x}_{1}{x}_{2}+3{y}_{1}{y}_{2}=4{x}_{1}{x}_{2}-3\sqrt{2}{x}_{1}{x}_{2}+6^{2}\\;\\;\\;\\;\\;\$=3b²-9b²+6b²=0
由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，得x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，
代入x²+3y²=3b²得，${λ}^{2}（{{x}_{1}}^{2}+3{{y}_{1}}^{2}）+{μ}^{2}（{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）+$2λμ（${x}_{1}{x}_{2}+3{y}_{1}{y}_{2}）=3^{2}$=3b²，
λ²+μ²=1（定值）

點評 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．