Question

6．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知（b-2a）•cosC+c•cosB=0
（1）求角C；
（2）若$c=2，{S_{△ABC}}=\sqrt{3}$，求邊長a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內角和定理可得sinA=2sinAcosC，由于sinA≠0，可求cosC=$\frac{1}{2}$，結合范圍C∈（0，π），可求C的值．
（2）利用三角形面積公式可求ab=4，由余弦定理可得a²+b²=8，聯(lián)立即可解得a，b的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵（b-2a）•cosC+c•cosB=0，
∴由正弦定理可得：（sinB-2sinA）cosC+sinCcosB=0，…2分
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosC，可得：sin（B+C）=sinA=2sinAcosC，
∵sinA≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，…5分
∵C∈（0，π）
∴C=$\frac{π}{3}$…6分
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=$\sqrt{3}$，
∴ab=4，①
由余弦定理可得：a²+b²-c²=2abcosC，
∵c=2，C=$\frac{π}{3}$，ab=4，…8分
∴a²+b²=8，②…10分
聯(lián)立①②即可解得：a=2，b=2…12分

點評 本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內角和定理，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．