Question

13．已知角α的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊上一點P（3，1），α∈（0，π），β∈（0，π），tan（α-β）=$\frac{sin2（\frac{π}{2}-α）+4co{s}^{2}α}{10co{s}^{2}α+cos（\frac{3π}{2}-2α）}$．
（1）求tan（α-β）的值；
（2）求tan β的值．
（3）求2α-β的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡等式右邊，結(jié)合已知即可計算得解．
（2）利用β=（α-β）-α，結(jié)合兩角差的正切函數(shù)公式即可計算得解．
（3）利用兩角差的正切函數(shù)公式計算可求tan（2α-β）=1，結(jié)合范圍0＜2α＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$＜β＜π，-π＜2α-β＜0，即可得解．

解答 解：（1）由已知tanα=$\frac{1}{3}$．
∵tan（α-β）=$\frac{sin2（\frac{π}{2}-α）+4co{s}^{2}α}{10co{s}^{2}α+cos（\frac{3π}{2}-2α）}$=$\frac{sin2α+4cos2α}{10cos2α-sin2α}$=$\frac{2sinαcosα+4cos2α}{10cos2α-2sinαcosα}$=$\frac{2cosα?sinα+2cosα?}{2cosα?5cosα-sinα?}$=$\frac{sinα+2cosα}{5cosα-sinα}$=$\frac{tanα+2}{5-tanα}$=$\frac{{\frac{1}{3}+2}}{{5-\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2}$．…（3分）
（2）tan β=-tan[（α-β）-α]=-$\frac{tan（α-β）-tanα}{1+tan（α-β）tanα}$=$\frac{{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}}{{1+\frac{1}{2}•\frac{1}{3}}}=-\frac{1}{7}$．…（7分）
（3）∵tan α=$\frac{1}{3}$＞0，
∴0＜α＜$\frac{π}{2}$，
又∵tan 2α=$\frac{2tanα}{1-tan2α}$=$\frac{2×\frac{1}{3}}{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{3}{4}$＞0，
∴0＜2α＜$\frac{π}{2}$，
∴tan（2α-β）=$\frac{tan2α-tanβ}{1+tan2αtanβ}$=$\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{7}}{1-\frac{3}{4}×\frac{1}{7}}$=1．
∵tan β=-$\frac{1}{7}$＜0，
∴$\frac{π}{2}$＜β＜π，-π＜2α-β＜0，
∴2α-β=-$\frac{3π}{4}$．…（12分）       （如果多個答案，沒判斷范圍扣2分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，兩角差的正切函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．