Question

1．已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線C：x²=2py（p＞0）上不同兩點．
（1）設(shè)直線l：y=$\frac{p}{4}$與y軸交于點M，若A，B兩點所在的直線方程為y=x-1，且直線l：y=$\frac{p}{4}$恰好平分∠AFB，求拋物線C的標準方程．
（2）若直線AB與x軸交于點P，與y軸的正半軸交于點Q，且y₁y₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，是否存在直線AB，使得$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{3}{|PQ|}$？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，$\frac{p}{4}$），由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，消去y整理得x²-2px+2p=0，
直線y=$\frac{p}{4}$平分∠AFB，可得k_AM+k_BM=0，利用韋達定理求得p，即可
（2）由題意知，直線AB的斜率存在，且不為零，
設(shè)直線AB的方程為：y=kx+b （k≠0，b＞0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，得x²-2pkx-2pb=0，∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4{p}^{2}{k}^{2}+8pb}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=2pk}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-2pb}\end{array}\right.$，
由已知可得b=$\frac{p}{2}$．直線AB的方程為：y=kx+$\frac{p}{2}$．
作AA′⊥x軸，BB′⊥x軸，垂足為A′，B′，
$\frac{|PQ|}{|PA|}$+$\frac{|PQ|}{|PB|}$=$\frac{|OQ|}{|A′A|}$+$\frac{|OQ|}{|B′B|}$=$\frac{p}{2}×\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$，得k，

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，$\frac{p}{4}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，消去y整理得x²-2px+2p=0，
則△=4p²-8p，x₁+x₂=2p，x₁x₂=2p，
∵直線y=$\frac{p}{4}$平分∠AFB，∴k_AM+k_BM=0，
∴$\frac{{y}_{1}-\frac{p}{4}}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}-\frac{p}{4}}{{x}_{2}}=0$，即：$\frac{{x}_{1}-1-\frac{p}{4}}{{x}_{1}}+\frac{{x}_{2}-1-\frac{p}{4}}{{x}_{2}}=2-（1+\frac{p}{4}）\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=0$，
∴p=4，滿足△＞0，∴拋物線C標準方程為x²=8y．
（2）由題意知，直線AB的斜率存在，且不為零，
設(shè)直線AB的方程為：y=kx+b （k≠0，b＞0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，得x²-2pkx-2pb=0，∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4{p}^{2}{k}^{2}+8pb}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=2pk}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-2pb}\end{array}\right.$，
∴y₁•y₂=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}•\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}=\frac{（-2pb）^{2}}{4{p}^{2}}=^{2}$，
∵${y}_{1}{y}_{2}=\frac{{p}^{2}}{4}$，∴b²=$\frac{{p}^{2}}{4}$，∵b＞0，∴b=$\frac{p}{2}$．
∴直線AB的方程為：y=kx+$\frac{p}{2}$．
假設(shè)存在直線AB，使得$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{3}{|PQ|}$，即$\frac{|PQ|}{|PA|}$+$\frac{|PQ|}{|PB|}$=3
作AA′⊥x軸，BB′⊥x軸，垂足為A′，B′，
∴$\frac{|PQ|}{|PA|}$+$\frac{|PQ|}{|PB|}$=$\frac{|OQ|}{|A′A|}$+$\frac{|OQ|}{|B′B|}$=$\frac{p}{2}×\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$
∵${y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}+p=2p{k}^{2}+p$，y₁•y₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴$\frac{|PQ|}{|PA|}$+$\frac{|PQ|}{|PB|}$=$\frac{p}{2}×\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{p}{2}×\frac{2p{k}^{2}+p}{\frac{{p}^{2}}{4}}$=4k²+2，由4k²+2=3得k=$±\frac{1}{2}$，
故存在直線AB，使得$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{3}{|PQ|}$，且直線AB方程為y=$±\frac{1}{2}x+\frac{p}{2}$．

點評 本題考查了拋物線的方程、性質(zhì)，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了計算能力、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．