Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0
（1）求證：當(dāng)m∈R時(shí)，直線l與圓C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）設(shè)l與圓交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=

17

，求l的傾斜角；
（3）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì),軌跡方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）根據(jù)直線l的方程可得直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)H（1，1），而點(diǎn)H到圓心C（0，1）的距離為1，小于半徑，故點(diǎn)H在圓的內(nèi)部，故直線l與圓C相交，命題得證．
（2）由直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，AB為圓C的弦，根據(jù)垂徑定理得到弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距d構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，確定出直線l的方程，進(jìn)而求出直線l的傾斜角．
（3）設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y），當(dāng)AB斜率存在時(shí)，由K_AB•K_CM=-1，化簡(jiǎn)可得AB中點(diǎn)M的軌跡方程；當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)也滿足此軌跡方程，從而得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由于直線l的方程是mx-y+1-m=0，即 y-1=m（x-1），經(jīng)過(guò)定點(diǎn)H（1，1），
而點(diǎn)H到圓心C（0，1）的距離為1，小于半徑

5

，故點(diǎn)H在圓的內(nèi)部，故直線l與圓C相交，
故直線和圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)．
（2）∵R=

5

，d=

|m|

m2+1

，|AB|=

17

，
∴根據(jù)垂徑定理及勾股定理得：

17

4

=5-

m2

m2+1

，
整理得：m²=3，解得：m=±

3

，
∴直線l的傾斜角為：60°或120°．
（3）設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y），當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，由題意可得CM⊥AB，故有K_AB•K_CM=-1．
∴

y-1

x-1

•

y-1

x-0

=-1，化簡(jiǎn)可得(x-

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

，
即AB中點(diǎn)M的軌跡方程為(x-

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

．
當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=1，此時(shí)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，1），
也滿足(x-

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

．
綜上可得，AB中點(diǎn)M的軌跡方程為(x-

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判定，直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，求點(diǎn)的軌跡方程，屬于中檔題．