Question

4．已知$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{1}{t}$，|$\overrightarrow{AC}$|=t，若P點是△ABC所在平面內(nèi)一點，且$\overrightarrow{AP}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，當t變化時，$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$的最大值等于（　　）

• A． -2
• B． 0
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 以A為坐標原點，建立平面直角坐標系，推導出B（$\frac{1}{t}$，0），C（0，t），P（1，1），從而$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{1}{t}-1$，-1），$\overrightarrow{PC}$=（-1，t-1），由此能求出$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$的最大值．

解答 解：以A為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖所示，
∵$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{1}{t}$，|$\overrightarrow{AC}$|=t，∴B（$\frac{1}{t}$，0），C（0，t），
∵P點是△ABC所在平面內(nèi)一點，且$\overrightarrow{AP}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=（1，0）+（0，1）=（1，1），即P（1，1），
∴$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{1}{t}-1$，-1），$\overrightarrow{PC}$=（-1，t-1），
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=-$\frac{1}{t}$+1-t+1=2-（$\frac{1}{t}+t$），
∵$\frac{1}{t}+t≥2\sqrt{\frac{1}{t}•t}$=2，
∴$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$的最大值等于0，
當且僅當t=$\frac{1}{t}$，即t=1時，取等號．
故選：B．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的最大值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意平面向量坐標運算法則的合理運用．