Question

14．已知圓C：x²+y²=4，點(diǎn)P為直線x+2y-9=0上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，則直線AB經(jīng)過定點(diǎn)（　　）

• A． $（\frac{4}{9}，\frac{8}{9}）$
• B． $（\frac{2}{9}，\frac{4}{9}）$
• C． （2，0）
• D． （9，0）

Answer 1

分析 根據(jù)題意設(shè)P的坐標(biāo)為P（9-2m，m），由切線的性質(zhì)得點(diǎn)A、B在以O(shè)P為直徑的圓C上，求出圓C的方程，將兩個(gè)圓的方程相減求出公共弦AB所在的直線方程，再求出直線AB過的定點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：因?yàn)镻是直線x+2y-9=0的任一點(diǎn)，所以設(shè)P（9-2m，m），
因?yàn)閳Ax²+y²=4的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，
所以O(shè)A⊥PA，OB⊥PB，
則點(diǎn)A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，即AB是圓O和圓C的公共弦，
則圓心C的坐標(biāo)是（$\frac{9-2m}{2}$，$\frac{m}{2}$），且半徑的平方是r²=$\frac{（9-2m）^{2}+{m}^{2}}{4}$，
所以圓C的方程是（x-$\frac{9-2m}{2}$）²+（y-$\frac{m}{2}$）²=$\frac{（9-2m）^{2}+{m}^{2}}{4}$，①
又x²+y²=4，②，
②-①得，（2m-9）x-my+4=0，即公共弦AB所在的直線方程是：（2m-9）x-my+4=0，
即m（2x-y）+（-9x+4）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{-9x+4=0}\end{array}\right.$得x=$\frac{4}{9}$，y=$\frac{8}{9}$，
所以直線AB恒過定點(diǎn)（$\frac{4}{9}$，$\frac{8}{9}$），
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置關(guān)系，圓的切線性質(zhì)，以及直線過定點(diǎn)問題，屬于中檔題．