Question

19．已知函數(shù)f（x）=a（x-lnx）-lnx-$\frac{1}{x}$（其中a∈R）．
（Ⅰ）當a=2時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤1在區(qū)間[1，e]上恒成立，求a的取值范圍（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；
（Ⅱ）分離參數(shù)，問題轉化為a≤$\frac{lnx+\frac{1}{x}+1}{x-lnx}$在區(qū)間[1，e]上恒成立，令h（x）=$\frac{lnx+\frac{1}{x}+1}{x-lnx}$，x∈[1，e]，根據(jù)函數(shù)的單調性求出h（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）a=2時，f（x）=2（x-lnx）-lnx-$\frac{1}{x}$=2x-3lnx-$\frac{1}{x}$，（x＞0），
f′（x）=2-$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜1，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，在（$\frac{1}{2}$，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴f（x）的極大值是f（$\frac{1}{2}$）=3ln2-1，f（x）的極小值是f（1）=1；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤1在區(qū)間[1，e]上恒成立，
即a≤$\frac{lnx+\frac{1}{x}+1}{x-lnx}$在區(qū)間[1，e]上恒成立，
令h（x）=$\frac{lnx+\frac{1}{x}+1}{x-lnx}$，x∈[1，e]，
h′（x）=$\frac{（\frac{1}{x}-1）[\frac{1}{x}+lnx（\frac{1}{x}+1）]}{{（x-lnx）}^{2}}$，x∈[1，e]，
∵$\frac{1}{x}$-1＜0，
令m（x）=$\frac{1}{x}$+lnx（$\frac{1}{x}$+1），x∈[1，e]，
m′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$＞0，
∴m（x）在[1，e]遞增，∴m（x）≥m（1）=1，
∴h′（x）＜0，h（x）在[1，e]遞減，
∴h（x）的最小值是h（e）=$\frac{2e+1}{{e}^{2}-e}$，
∴a≤$\frac{2e+1}{{e}^{2}-e}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、極值、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．