Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），過右焦點且垂直于x軸的直線截橢圓所得弦長是1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點A，B分別是橢圓C的左，右頂點，過點（1，0）的直線l與橢圓交于M，N兩點（M，N與A，B不重合），證明：直線AM和直線BN交點的橫坐標(biāo)為定值．

Answer 1

分析 （1）令x=c代入橢圓方程，可得弦長為$\frac{2^{2}}{a}$=1，點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入橢圓方程，解方程可得a=2，b=1，可得橢圓方程；
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），將直線的方程代入橢圓方程x²+4y²=4，消去x，可得y的二次方程，運用韋達(dá)定理，求出直線AM，BN的方程，求交點的橫坐標(biāo)，代入韋達(dá)定理，化簡整理可得定值4．

解答 解：（1）設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點為（c，0），
令x=c，可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
即有$\frac{2^{2}}{a}$=1，
又$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{4^{2}}$=1，
解方程組可得a=2，b=1，
則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）證明：由橢圓方程可得A（-2，0），B（2，0），
設(shè)直線l的方程為x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
將直線的方程代入橢圓方程x²+4y²=4，可得
（4+m²）y²+2my-3=0，
y₁+y₂=-$\frac{2m}{4+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{4+{m}^{2}}$，
直線AM：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2），BN：y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$（x-2），
聯(lián)立直線AM，BN方程，消去y，可得
x=$\frac{2（{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}-2{y}_{1}+2{y}_{2}）}{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}+2（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{4m{y}_{1}{y}_{2}-2{y}_{1}+6{y}_{2}}{{y}_{1}+3{y}_{2}}$，
由韋達(dá)定理可得，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2m}{3}$，
即2my₁y₂=3y₁+3y₂，
可得x=$\frac{6{y}_{1}+6{y}_{2}-2{y}_{1}+6{y}_{2}}{{y}_{1}+3{y}_{2}}$=4．
即有直線AM和直線BN交點的橫坐標(biāo)為定值4．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用點滿足橢圓方程和弦長公式，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理，聯(lián)立直線方程可得交點，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．