Question

如圖，將一副三角板拼接，使它們有公共邊BC，且使兩個三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC=90°，AB=AC，∠CBD=90°，∠BDC=60°，BC=6.

(1)求證：平面ABD⊥平面ACD；

(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值；

(3)設過直線AD且與BC平行的平面為α，求點B到平面α的距離.

Answer 1

解法一：(1)證明:平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC=BC，

∴BD⊥平面ABC.

∵AC平面ABC，∴AC⊥BD，                                             

又AC⊥AB，BD∩AB=B，∴AC⊥平面ABD，

又AC平面ACD，

∴平面ABD⊥平面ACD.                                                    

(2)設BC中點為E，連結AE，過E作EF⊥CD于F，連結AF.由三垂線定理得∠EFA為二面角的平面角.                                                              

由△EFC∽△DBC可求得EF=1.5，

又AE=3，所以tan∠EFA=2，即二面角的平面角的正切值為2.                     

(3)過點D作DG∥BC，且CB=DG，連結AG.設平面ADG為平面α.

∵BC∥平面ADG，所以B到平面ADG的距離等于C到平面ADG的距離，設為h，

∵V_C—ADG=V_A—DGC=V_A—BCD，

∴S_△ADG·h=S_△BCD·AE，                                              

∴h=.

∴點B到平面α的距離為.                                             

解法二：如圖，以BC的中點O為原點，BC的中垂線為x軸，OB為y軸，OA為z軸建立空間直角坐標系,則A(0，0，3)，B(0，3，0)，C(0，-3，0)，D(23，，0).

(1)證明:∵·=(0，3，3)·(2，0，0)=0，

∴CA⊥BD.                                                              

又CA⊥AB，∴CA⊥平面ABD，

∴平面ABD⊥平面ACD.                                                   

(2)設平面ACD的法向量為S=(a,b,c).

∵S·=0,S·=0.

∴

即得

取b=-1，得S=(,-1,1).                                                    

又平面CBD的法向量為=(0,0,3)，

∴cos〈,S〉==.                         

∴tan〈,S〉=2.

∴二面角A-CD-B的平面角的正切值為2.                                    

(3)作DEBC，則平面α就是平面ADE，且E(2，-3，0).設平面ADE的法向量n=(p,q,r)，則

即

解得

取p=，得n=(,0,2).                                                 

∴B到平面α的距離d為

d==.