Question

5．已知函數(shù)$f（x）=\frac{n}{x}（n∈{N^*}）$，過點(diǎn)P（n，f（n））與y=f（x）的圖象相切的直線l交x軸于A（x_n，0），交y軸于B（0，y_n），則數(shù)列$\{\frac{1}{{{x_n}（{x_n}+{y_n}）}}\}$的前n項(xiàng)和為$\frac{n}{4n+4}$．

Answer 1

分析 f′（x）=-$\frac{n}{{x}^{2}}$，可得過點(diǎn)P（n，f（n））的切線方程為：y-1=$-\frac{1}{n}$（x-n），x_n=2n，y_n=2．利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：f′（x）=-$\frac{n}{{x}^{2}}$，∴過點(diǎn)P（n，f（n））的切線方程為：y-1=$-\frac{1}{n}$（x-n），
則x_n=2n，y_n=2．
∴$\frac{1}{{x}_{n}（{x}_{n}+{y}_{n}）}$=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∵數(shù)列$\{\frac{1}{{{x_n}（{x_n}+{y_n}）}}\}$的前n項(xiàng)和=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{4}$$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{n}{4n+4}$．
故答案為：$\frac{n}{4n+4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及其幾何意義、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．