Question

【題目】【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答卷卡指定區(qū)域內作答．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

A．選修4—1：幾何證明選講

如圖，△ABC的頂點A，C在圓O上，B在圓外，線段AB與圓O交于點M．

（1）若BC是圓O的切線，且AB＝8，BC＝4，求線段AM的長度；

（2）若線段BC與圓O交于另一點N，且AB＝2AC，求證：BN＝2MN．

B．選修4—2：矩陣與變換

設a，b∈R．若直線l：ax＋y－7＝0在矩陣A= 對應的變換作用下，得到的直線為l′：9x＋y－91＝0．求實數a，b的值．

C．選修4—4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系xOy中，直線l： (t為參數)，與曲線C： (k為參數)交于A，B兩點，求線段AB的長．

D．選修4—5：不等式選講

設a≠b，求證：a4＋6a2b2＋b4＞4ab(a2＋b2)．

Answer 1

【答案】見解析.

試題分析：作差比較，化簡得出原式=，即可作出證明。

試題解析：

證明： a4＋6a2b2＋b4－4ab(a2＋b2)＝(a2＋b2)2－4ab(a2＋b2)＋4a2b2

＝(a2＋b2－2ab)2＝(a－b)4．

因為a≠b，所以(a－b)4＞0， 所以a4＋6a2b2＋b4＞4ab(a2＋b2)．

【解析】試題分析：（1）因為是圓的切線，故由切割線定理得，設 ，列出方程，即可求解的值，得到的長；

（2）根據和相似，列出比例關系式，即可得出證明。

試題解析：

解：（1）因為BC是圓O的切線，故由切割線定理得BC2＝BM·BA．

設AM＝t，因為AB＝8，BC＝4，

所以42＝8(8－t)，解得t＝6 ，即線段AM的長度為6．

（2）因為四邊形AMNC為圓內接四邊形，所以∠A＝∠MNB．又∠B＝∠B，所以△BMN∽△BCA，

所以＝．

因為AB＝2AC，所以BN＝2MN．

B．選修4—2：矩陣與變換

設a，b∈R．若直線l：ax＋y－7＝0在矩陣A= 對應的變換作用下，得到的直線為l′：9x＋y－91＝0．求實數a，b的值．