Question

12．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為2，M、N、E分別為B₁C₁、C₁C、D₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面EMN；
（Ⅱ）求A₁B與MN所成的角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接CD₁，推導出A₁BCD₁為平行四邊形，從而A₁B∥EN，由此能證明A₁B∥平面EMN．
（Ⅱ）由A₁B∥EN，得∠ENM為A₁B與MN所成的角，由此能求出A₁B與MN所成的角．

解答 證明：（Ⅰ）連接CD₁，∵N、E分別為C₁C、D₁C₁的中點，
∴EN∥CD₁，
又∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，
∴A₁BCD₁為平行四邊形，∴A₁B∥CD₁，
∴A₁B∥EN，
∵EN?面EMN，A₁B?面EMN，
∴A₁B∥平面EMN．
解：（Ⅱ）∵A₁B∥EN，∴∠ENM為A₁B與MN所成的角，
∵$EM=MN=EN=\sqrt{2}$，∴∠ENM=60°，
∴A₁B與MN所成的角為60°．

點評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．