Question

關于函數(shù)（x∈R）的如下結論：
①f（x）是奇函數(shù)；②函數(shù)f（x）的值域為（-2，2）；③若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；④函數(shù)g（x）=f（x）-3x在R上有三個零點．
其中正確結論的序號有________．（請將你認為正確的結論的序號都填上）

Answer 1

①②③
分析：由定義域關于原點對稱且f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函數(shù)，故①正確．利用不等式的性質可得，-2＜f（x）＜2，故②正確． 根據(jù)奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
可得函數(shù)f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，故當x₁≠x₂時，一定有f（x₁）≠f（x₂），故③正確．函數(shù)g（x）=f（x）-3x在R上的零點個數(shù)，即函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=3x的圖象交點個數(shù)．而兩個增函數(shù)的圖象交點最多有兩個，故④不正確．
解答：函數(shù)（x∈R）的定義域為R，
由f（-x）==-f（x），可得f（x）是奇函數(shù)，故①正確．
由于-|x|≤x≤|x|，∴-≤f（x）≤．
∴-＜f（x）＜，∴-2＜f（x）＜2，故②正確．
當x＞0時，==2-＞0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
再由奇函數(shù)的性質可得，函數(shù)f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，且f（x）＜0，f（0）=0，
故當x₁≠x₂時，一定有f（x₁）≠f（x₂），故③正確．
由③可得，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，函數(shù)g（x）=f（x）-3x在R上的零點個數(shù)，即函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=3x的圖象交點個數(shù)．
而兩個增函數(shù)的圖象交點最多有兩個，故函數(shù)g（x）=f（x）-3x在R上有三個零點不可能，故④不正確．
故答案為 ①②③．
點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調性、值域，函數(shù)的零點個數(shù)的判斷，屬于基礎題．