Question

1．已知拋物線x²=2py（p＞0），F(xiàn)為其焦點，過點F的直線l交拋物線于A、B兩點，過點B作x軸的垂線，交直線OA于點C，如圖所示．
（Ⅰ）求點C的軌跡M的方程；
（Ⅱ）直線m是拋物線的不與x軸重合的切線，切點為P，M與直線m交于點Q，求證：以線段PQ為直徑的圓過點F．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判斷直線l的斜率存在，設方程為：y=kx+$\frac{p}{2}$，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），動點C（x，y）聯(lián)立直線與拋物線的方程組，利用韋達定理可得x₁x₂═-p²．求出OA；OB方程；然后求解軌跡方程．
（Ⅱ）設直線m的方程為：y=kx+m，由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得△=4p²k²+8pm，利用直線m與拋物線相切，得P（pk，-m），求出Q（$-\frac{p+2m}{2k}，-\frac{p}{2}$），通過$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$=0，說明以線段PQ為直徑的圓過點F．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得：直線l的斜率存在，設方程為：y=kx+$\frac{p}{2}$，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），動點C（x，y），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{y=kx+\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，可得x²-2pkx-p²=0．可得x₁x₂═-p²．
OA：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}x$=$\frac{{x}_{1}}{2p}x$；OB：x=x₂；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{x}_{1}}{2p}x}\\{x={x}_{2}}\end{array}\right.$可得y=$\frac{{x}_{1}}{2p}•{x}_{2}=-\frac{p}{2}$，
即點C的軌跡方程為y=-$\frac{p}{2}$．
（Ⅱ）證明：設直線m的方程為：y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$可得x²-2pkx-2pm=0可得△=4p²k²+8pm，因為直線m與拋物線相切，
∴△=0，可得pk²+2m=0，可得P（pk，-m），
又由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y=-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，可得Q（$-\frac{p+2m}{2k}，-\frac{p}{2}$），
$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$=（pk，-m-$\frac{p}{2}$）（$-\frac{p+2m}{2k}，-\frac{p}{2}$）
=-$\frac{p}{2}$（p+2m）+pm+$\frac{{p}^{2}}{2}$=0，可得FP⊥FQ，
∴以線段PQ為直徑的圓過點F．

點評 本題考查軌跡方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的應用，可知轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．