Question

數(shù)列{a_n}前n項和Sn=

n2

4

，數(shù)列{b_n}滿足3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N*），
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：當b1≠

1

4

時，數(shù)列{b_n-a_n}為等比數(shù)列；
（3）在題（2）的條件下，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，若數(shù)列{T_n}中只有T₃最小，求b₁的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件，利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由已知條件3（b_n-a_n）-（b_n-1-a_n-1）=0，從而得到(bn-an)=

1

3

(bn-1-an-1)，由此能證明{b_n-a_n}是等比數(shù)列．
（3）由已知條件推導(dǎo)出bn=

2n-1

4

+(b1-

1

4

)×(

1

3

)n-1，再由數(shù)列{T_n}中只有T₃最小，能求出b₁的取值范圍．

解答： （1）解：∵數(shù)列{a_n}前n項和Sn=

n2

4

，
∴a1=S1=

1

4

，
a_n=S_n-S_n-1=

n2

4

-

(n-1)2

4

=

2n-1

4

，
當n=1時，

2n-1

4

=

1

4

=a1，
∴an=

2n-1

4

，n∈N*．（4分）
（2）證明：∵數(shù)列{b_n}滿足3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N*），
∴3（b_n-a_n）-（b_n-1-a_n-1）
=（3b_n-b_n-1）-3a_n+a_n-1=n-n=0，
∴(bn-an)=

1

3

(bn-1-an-1)，且b₁-a₁≠0，
∴{b_n-a_n}是以b₁-a₁為首項、

1

3

為公比的等比數(shù)列．（8分）
（3）解：∵{b_n-a_n}是以b₁-a₁為首項、

1

3

為公比的等比數(shù)列，
∴bn=

2n-1

4

+(b1-

1

4

)×(

1

3

)n-1，（10分）
∵數(shù)列{T_n}中只有T₃最小，
∴

b3＜0 b4＞0

，解得-47＜b₁＜-11，（13分）
此時，b_n+1-b_n=

1

2

-2×(b1-

1

4

)×(

1

3

)n＞0，
于是，{b_n}為遞增數(shù)列，
∴n≤3時，b_n＜0，n≥4時b_n＞0，符合題意，
綜上-47＜b₁＜-11．（15分）

點評：本題考查數(shù)列通項公式的求法，考查等比數(shù)列的證明，考查首項的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．