Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為A_n，對任意n∈N^*滿足$\frac{{{A_{n+1}}}}{n+1}$-$\frac{A_n}{n}$=$\frac{1}{2}$，且a₁=1，數(shù)列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N*），b₃=5，其前9項和為63．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）令c_n=$\frac{b_n}{a_n}$+$\frac{a_n}{b_n}$，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，若對任意正整數(shù)n，都有T_n≥2n+a，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）將數(shù)列{a_n}，{b_n}的項按照“當n為奇數(shù)時，a_n放在前面；當n為偶數(shù)時，b_n放在前面”的要求進行“交叉排列”，得到一個新的數(shù)列：a₁，b₁，b₂，a₂，a₃，b₃，b₄，a₄，a₅，b₅，b₆，…，求這個新數(shù)列的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{{A_{n+1}}}}{n+1}-\frac{A_n}{n}=\frac{1}{2}$，利用等差數(shù)列通項公式可得A_n，再利用遞推關系可得a_n．由b_n+2-2b_n+1+b_n=0，可得數(shù)列
{b_n}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式與通項公式即可得出．
（2）由（1）知${c_n}=\frac{b_n}{a_n}+\frac{a_n}{b_n}=\frac{n+2}{n}+\frac{n}{n+2}=2+2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，再利用“裂項求和”方法、數(shù)列的單調性即可得出．
（3）數(shù)列{a_n}的前n項和${A_n}=\frac{n（n+1）}{2}$，數(shù)列{b_n}的前n項和${B_n}=\frac{n（n+5）}{2}$．對n分類討論即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{{{A_{n+1}}}}{n+1}-\frac{A_n}{n}=\frac{1}{2}$，∴數(shù)列$\left\{{\frac{A_n}{n}}\right\}$是首項為1，公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，
∴$\frac{A_n}{n}={A_1}+（n-1）×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}$，即${A_n}=\frac{n（n+1）}{2}（n∈{N^*}）$，
∴${a_{n+1}}={A_{n+1}}-{A_n}=\frac{（n+1）（n+2）}{2}-\frac{n（n+1）}{2}=n+1（n∈{N^*}）$，
又a₁=1，∴${a_n}=n（n∈{N^*}）$，
∵b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
設{b_n}的前n項和為B_n，∵${B_9}=\frac{{9（{b_3}+{b_7}）}}{2}=63$且b₃=5，
∴b₇=9，∴{b_n}的公差為$\frac{{{b_7}-{b_3}}}{7-3}=\frac{9-5}{7-3}=1$，${b_n}=n+2（n∈{N^*}）$．
（2）由（1）知${c_n}=\frac{b_n}{a_n}+\frac{a_n}{b_n}=\frac{n+2}{n}+\frac{n}{n+2}=2+2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=$2n+2（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$=$2n+2（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$2n+3-2（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$，
∴${T_n}-2n=3-2（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$，
設${R_n}=3-2（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$，則${R_{n+1}}-{R_n}=2（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）=\frac{4}{（n+1）（n+3）}＞0$，
∴數(shù)列{R_n}為遞增數(shù)列，
∴${（{R_n}）_{min}}={R_1}=\frac{4}{3}$，
∵對任意正整數(shù)n，都有T_n-2n≥a恒成立，∴$a≤\frac{4}{3}$．
（3）數(shù)列{a_n}的前n項和${A_n}=\frac{n（n+1）}{2}$，數(shù)列{b_n}的前n項和${B_n}=\frac{n（n+5）}{2}$．
①當n=2k（k∈N^*）時，${S_n}={A_k}+{B_k}=\frac{k（k+1）}{2}+\frac{k（k+5）}{2}={k^2}+3k$；
②當n=4k+1（k∈N^*）時，${S_n}={A_{2k+1}}+{B_{2k}}=\frac{（2k+1）（2k+2）}{2}+\frac{2k（2k+5）}{2}$=4k²+8k+1，
特別地，當n=1時，S₁=1也符合上式；
③當n=4k-1（k∈N^*）時，${S_n}={A_{2k-1}}+{B_{2k}}=\frac{（2k-1）2k}{2}+\frac{2k（2k+5）}{2}=4{k^2}+4k$．
綜上：${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{n^2}+\frac{3}{2}n，n=2k}\\{\frac{{{n^2}+6n-3}}{4}，n=4k-3}\\{\frac{{{n^2}+6n+5}}{4}，n=4k-1}\end{array}}\right.$，k∈N^*…（16分）

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關系、等差數(shù)列通項公式與求和公式、數(shù)列的單調性、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．