Question

16．已知f（x）=2acos²x+bsinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$且f（0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）若x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，求值域．

Answer 1

分析 利用降冪公式降冪，再由輔助角公式化積．
（1）直接利用周期公式求得周期；
（2）由x得范圍求得相位的范圍，則函數(shù)值域可求．

解答 解：由f（x）=2acos²x+bsinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且f（0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
得$\left\{\begin{array}{l}{2a-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2a×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}b-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$a=\frac{\sqrt{3}}{2}，b=1$．
∴$f（x）=\sqrt{3}co{s}^{2}x+sinxcosx-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$2x+\frac{π}{4}$）．
（1）T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，∴$2x+\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}，\frac{π}{4}$]，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$∈[$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$]，即函數(shù)值域?yàn)閇$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的周期性及其求法，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．