Question

2．如圖，在平面四邊形ABCD中，O為BD的中點(diǎn)，且OA=3，OC=5，若$\overrightarrow{AB}$•$\overline{AD}$=-7，則$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{DC}$的值是9．

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量的線性表示與數(shù)量積運(yùn)算，利用$\overrightarrow{AB}$•$\overline{AD}$=（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OD}$）求出|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OD}$|=4；再利用$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{DC}$=（$\overrightarrow{BO}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{DO}$+$\overrightarrow{OC}$）求出運(yùn)算結(jié)果．

解答 解：平面四邊形ABCD中，O為BD的中點(diǎn)，
且OA=3，OC=5，∴$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{0}$；
若$\overrightarrow{AB}$•$\overline{AD}$=-7，
則（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OD}$）=${\overrightarrow{AO}}^{2}$+$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OD}$
=${\overrightarrow{AO}}^{2}$+$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{OB}$）-${\overrightarrow{OB}}^{2}$
=3²-${\overrightarrow{OB}}^{2}$=-7；
∴${\overrightarrow{OB}}^{2}$=16，
∴|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OD}$|=4；
∴$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{DC}$=（$\overrightarrow{BO}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{DO}$+$\overrightarrow{OC}$）
=$\overrightarrow{BO}$•$\overrightarrow{DO}$+$\overrightarrow{BO}$•$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OC}$+${\overrightarrow{OC}}^{2}$
=-${\overrightarrow{BO}}^{2}$+$\overrightarrow{OC}$•（$\overrightarrow{BO}$+$\overrightarrow{OD}$）+${\overrightarrow{OC}}^{2}$
=-4²+0+5²
=9．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的線性表示與數(shù)量積運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題．