Question

5．存在正實(shí)數(shù)b使得關(guān)于x的方程sinx+$\sqrt{3}$cosx=b的正根從小到大排成一個(gè)等差數(shù)列，若點(diǎn)P（6，b）在直線nx+my-2mn=0上（m，n均為正常數(shù)），則m+4n的最小值為（　�。�

• A． 5+2$\sqrt{6}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 8$\sqrt{3}$
• D． 7+4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由sinx+$\sqrt{3}$cosx=b，可得：2$sin（x+\frac{π}{3}）$=b．存在正數(shù)b，使得方程sinx+$\sqrt{3}$cosx=b的正根從小到大排成一個(gè)等差數(shù)列，即有0＜b≤2．經(jīng)過討論可得：b=2，即有x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即為x=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．點(diǎn)P（6，2）在直線直線nx+my-2mn=0上（m，n均為正常數(shù)），可得：$\frac{3}{m}+\frac{1}{n}$=1．再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：由sinx+$\sqrt{3}$cosx=b，可得：2$sin（x+\frac{π}{3}）$=b
存在正數(shù)b，使得方程sinx+$\sqrt{3}$cosx=b的正根從小到大排成一個(gè)等差數(shù)列，
即有0＜b≤2．
若0＜b＜2，由y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的圖象可得：直線y=b與函數(shù)y=2sin（x+$\frac{π}{3}$）的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不成等差數(shù)列，若b=2，即有x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即為x=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
可得所有正根從小到大排成一個(gè)等差數(shù)列，公差為2π．
由點(diǎn)P（6，2）在直線直線nx+my-2mn=0上（m，n均為正常數(shù)），∴6n+2m-2mn=0，化為：$\frac{3}{m}+\frac{1}{n}$=1．
則m+4n=（m+4n）$（\frac{3}{m}+\frac{1}{n}）$=7+$\frac{12n}{m}+\frac{m}{n}$≥7+2$\sqrt{\frac{12n}{m}×\frac{m}{n}}$=7+4$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)m=2$\sqrt{3}$n=3+2$\sqrt{3}$時(shí)取等號(hào)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)和差公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．