Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，且f（x•y）=f（x）+f（y）
（1）求f（1）；
（2）證明f（x）在定義域上是增函數(shù)；
（3）解不等式f[x（x-

1

2

）]＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法令x=y=1，即可求f（1）；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在定義域上是增函數(shù)；
（3）將不等式f[x（x-

1

2

）]＜0進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）令x=1，則f（1×1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
（2）設(shè)x₁＜x₂，則
∵f（x₁）＜f（x₂），∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則

x2

x1

＞1，則f（

x2

x1

）＞0，
又f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（x₁）+f（

x2

x1

）=f（x₂），
則f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)．
（3）不等式f[x（x-

1

2

）]＜0．
等價(jià)為不等式f[x（x-

1

2

）]＜f（1）．
∵f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)，
∴x（x-

1

2

）＜1，
即2x²-x-2＜0，

1- 17

4

＜x＜

1+ 17

4

，
即不等式的解集為（

1- 17

4

，

1+ 17

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，訓(xùn)練了特值法求函數(shù)的值，考查了學(xué)生靈活處理問題和解決問題的能力，屬中檔題．