Question

已知a＞0且a≠1，指數(shù)函數(shù)y=a^x在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；如果函數(shù)f(x)=log

1

a

x在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值之差為

1

2

，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：因?yàn)閥=a^x在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，所以a＞1，所以f(x)=log

1

a

x在[a，2a]上為減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)f(x)=log

1

a

x在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值之差為

1

2

，構(gòu)造方程，可得答案．

解答： 解：因?yàn)閥=a^x在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
所以a＞1，…（2分）
所以f(x)=log

1

a

x在[a，2a]上為減函數(shù)，…（4分）
從而得f(a)-f(2a)=

1

2

即log

1

a

a-log

1

a

2a=

1

2

…（6分）
所以log

1

a

2=-

1

2

，…（10分）
所以(

1

a

)-

1

2

=2，…（12分）
解得a=4．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．