Question

定義域為R的偶函數(shù)f（x）滿足對?x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18，若函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，則a的取值范圍是（　　）

• A、（0，

  2

  2

  ）
• B、（0，

  3

  3

  ）
• C、（0，

  5

  5

  ）
• D、（0，

  6

  6

  ）

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得函數(shù)f（x）的周期為2，當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18，令g（x）=log_a（x+1），則f（x）的圖象和g（x）的圖象至少有3個交點，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)g（2）＞f（2），求得a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x+2）=f（x）-f（1），
且f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，
令x=-1可得f（-1+2）=f（-1）-f（1），
又f（-1）=f（1），
可得f（1）=0 則有，f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期為2的偶函數(shù)．
當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18=-2（x-3）²，
函數(shù)f（x）的圖象為開口向下、頂點為（3，0）的拋物線．
∵函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上
至少有三個零點，
令g（x）=log_a（x+1），則f（x）的圖象和g（x）的圖象至少有3個交點．
作出函數(shù)的圖象，如圖所示，
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．
要使函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，
則有g(shù)（2）＞f（2），即 log_a（2+1）＞f（2）=-2，
∴l(xiāng)og_a3＞-2，∴3＜

1

a2

，解得-

3

3

＜a＜

3

3

．
又a＞0，∴0＜a＜

3

3

，
故選：B．

點評：本題主要考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用，解題的過程中用到了數(shù)形結(jié)合的方法，這也是高考常考的熱點問題，屬于中檔題．