【題目】如圖所示的幾何,底為菱形,,.平面底面,,,.
(1)證明:平面平面;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)推導出,從而平面,進而.再由,得平面,推導出,從而平面,由此能證明平面平面;
(2)取中點G,從而平面,以、、所在直線分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角的余弦值.
解:(1)由題意可知,
又因為平面底面,所以平面,
從而.
因為,所以平面,
易得,,,
所以,故.
又,所以平面.
又平面,所以平面平面;
(2)取中點G,,相交于點O,連結,易證平面,
故、、兩兩垂直,以O為坐標原點,以、、所在直線分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,
則,,,,
所以,,.
由(1)可得平面的法向量為.
設平面的法向量為,
則即
令,得,
所以.
從而,
故二面角的正弦值為.
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【題目】以下命題中:
①若向量、、是空間的一組基底,則向量、、也是空間的一組基底;
②已知、、三點不共線,點為平面外任意一點,若點滿足,則點平面;
③曲線與曲線(且)有相同的焦點.
④過定圓上一定點作圓的動弦,為坐標原點,若,則動點的軌跡為橢圓;
⑤若過點的直線交橢圓于不同的兩點,且是的中點,則直線的方程是.
其中真命題的序號是______.(寫出所有真命題的序號)
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【題目】一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱,為了測量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°,沿點A向北偏東30°前進100 m到達點B,在B點測得水柱頂端的仰角為30°,則水柱的高度是( )
A. 50 mB. 100 m
C. 120 mD. 150 m
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點M在線段PPD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(I)求證:M為PB的中點;
(II)求二面角B-PD-A的大。
(III)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.
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【題目】如圖,在正方形中,點E,F分別為邊,的中點,將、分別沿、所在的直線進行翻折,在翻折的過程中,下列說法錯誤是( )
A.存在某個位置,使得直線與直線所成的角為
B.存在某個位置,使得直線與直線所成的角為
C.A、C兩點都不可能重合
D.存在某個位置,使得直線垂直于直線
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【題目】如圖(1)是某水上樂園擬開發(fā)水滑梯項目的效果圖,考慮到空間和安全方面的原因,初步設計方案如下:如圖(2),自直立于水面的空中平臺的上端點P處分別向水池內(nèi)的三個不同方向建水滑道,,,水滑道的下端點在同一條直線上,,平分,假設水滑梯的滑道可以看成線段,均在過C且與垂直的平面內(nèi),為了滑梯的安全性,設計要求.
(1)求滑梯的高的最大值;
(2)現(xiàn)在開發(fā)商考慮把該水滑梯項目設計成室內(nèi)游玩項目,且為保證該項目的趣味性,設計,求該滑梯裝置(即圖(2)中的幾何體)的體積最小值.
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【題目】為了了解我市特色學校的發(fā)展狀況,某調(diào)查機構得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù):
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
特色學校(百個) | 0.30 | 0.60 | 1.00 | 1.40 | 1.70 |
(Ⅰ)根據(jù)上表數(shù)據(jù),計算與的相關系數(shù),并說明與的線性相關性強弱(已知:,則認為與線性相關性很強;,則認為與線性相關性一般;,則認為與線性相關性較弱);
(Ⅱ)求關于的線性回歸方程,并預測我市2019年特色學校的個數(shù)(精確到個).
參考公式: ,,,,,.
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【題目】已知拋物線方程為y2=-4x,直線l的方程為2x+y-4=0,在拋物線上有一動點A,點A到y(tǒng)軸的距離為m,到直線l的距離為n,則m+n的最小值為________.
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