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2.已知集合Rn={X|X=(x1,x2,…,xn),xi∈{0,1},i=1,2,…,n}(n≥2).對于A=(a1,a2,…,an)∈Rn,B=(b1,b2,…,bn)∈Rn,定義A與B之間的距離為d(A,B)=|a1-b1|+|a2-b2|+…|an-bn|=ni=1|aibi|
(Ⅰ)寫出R2中的所有元素,并求兩元素間的距離的最大值;
(Ⅱ)若集合M滿足:M⊆R3,且任意兩元素間的距離均為2,求集合M中元素個數(shù)的最大值并寫出此時的集合M;
(Ⅲ)設(shè)集合P⊆Rn,P中有m(m≥2)個元素,記P中所有兩元素間的距離的平均值為¯dP,證明¯dPmn2m1

分析 (Ⅰ)根據(jù)集合的定義,寫出R2中的所有元素,并求兩元素間的距離的最大值;
(Ⅱ)R3中含有8個元素,可將其看成正方體的8個頂點(diǎn),已知集合M中的元素所對應(yīng)的點(diǎn),應(yīng)該兩兩位于該正方體面對角線的兩個端點(diǎn),即可求集合M中元素個數(shù)的最大值并寫出此時的集合M;
(Ⅲ)¯dP=1C2mABPdAB,其中ABPdAB表示P中所有兩個元素間距離的總和,根據(jù)timtim24,即可證明結(jié)論.

解答 解:(Ⅰ)R2={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)},A,B∈R2,d(A,B)max=2.
(Ⅱ)R3中含有8個元素,可將其看成正方體的8個頂點(diǎn),已知集合M中的元素所對應(yīng)的點(diǎn),應(yīng)該兩兩位于該正方體面對角線的兩個端點(diǎn),所以M={(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}
或M={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)},
集合M中元素個數(shù)最大值為4.
(Ⅲ)¯dP=1C2mABPdAB,其中ABPdAB表示P中所有兩個元素間距離的總和.
設(shè)P中所有元素的第i個位置的數(shù)字中共有ti個1,m-ti個0,則ABPdAB=ni=1timti
由于timtim24(i=1,2,…,n)
所以ABPdAB=ni=1timtinm24
從而¯dP=1C2mABPdABnm24C2m=nm2m1

點(diǎn)評 本題考查新定義,考查函數(shù)的最值,考查集合知識,難度大.

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