Question

設雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，且|F₁F₂|=4，一條漸近線的傾斜角為60°．
（I）求雙曲線C的方程和離心率；
（Ⅱ）若點P在雙曲線C的右支上，且△PF₁F₂的周長為16，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（I）由題意得，

2c=4 b a =tan60° a2+b2=c2

，解出可得a，b，c，從而可得答案；
（Ⅱ）由（I）及已知可得|PF₁|+|PF₂|=12，PF₁|-|PF₂|=2，聯立解出|PF₁|，設P（x₀，y₀），根據|PF₁|及點P在雙曲線上可得方程組，解出即可；

解答：解：（Ⅰ）由題意得，

2c=4 b a =tan60° a2+b2=c2

，解得

a=1 b= 3 c=2

，
所以雙曲線C的方程為x2-

y2

3

=1，離心率為2；
（Ⅱ）由△PF₁F₂的周長為16，得|PF₁|+|PF₂|=12①，
又點P在右支上，所以|PF₁|-|PF₂|=2②，
聯立①②解得|PF₁|=7，
設P（x₀，y₀），則

(x0+2)2+(y0)2

=7③，x02-

y02

3

=1④，
聯立③④解得

x0=3 y0=±2 6

或

x0=-4 y0=±3 5

（舍），
點P坐標為（3，，2

6

）或（3，-2

6

）

點評：本題考查直線與雙曲線的位置關系、雙曲線的簡單性質，考查方程思想，考查學生的運算求解能力．