【題目】已知橢圓C b0)的左、右頂點分別為A1、A2,上、下頂點分別為B2B1,O為坐標原點,四邊形A1B1A2B2的面積為4,且該四邊形內切圓的方程為

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)若M、N是橢圓C上的兩個不同的動點,直線OM、ON的斜率之積等于,試探求△OMN的面積是否為定值,并說明理由.

【答案】;(見解析.

【解析】試題分析:)先利用四邊形的面積求得,再利用直線和圓相切進行求解;()設出直線方程,聯(lián)立直線和橢圓的方程,得到關于的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關系、直線的斜率公式和三角形的面積公式進行求解.

試題解析:(Ⅰ)∵四邊形A1B1A2B2的面積為4,又可知四邊形A1B1A2B2為菱形,

,即ab=2①

由題意可得直線A2B2方程為:,即bx+ay﹣ab=0,

∵四邊形A1B1A2B2內切圓方程為,

∴圓心O到直線A2B2的距離為,即

由①②解得:a=2,b=1,∴橢圓C的方程為:

(Ⅱ)若直線MN的斜率存在,設直線MN的方程為y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),

得:(1+4k2)x2+8mkx+4(m2﹣1)=0∵直線l與橢圓C相交于M,N兩個不同的點,

∴△=64m2k2﹣16(1+4k2)(m2﹣1)>0得:1+4k2﹣m2>0③

由韋達定理:

∵直線OM,ON的斜率之積等于,

,

∴2m2=4k2+1滿足③…(9分)

O到直線MN的距離為,,

所以△OMN的面積

若直線MN的斜率不存在,M,N關于x軸對稱

M(x1,y1),N(x1,﹣y1),則,,

又∵M在橢圓上,,∴

所以△OMN的面積S===1.

綜上可知,△OMN的面積為定值1.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列的前項和為,點在直線.數(shù)列滿足,前9項和為153.

(1)求數(shù)列的通項公式;

(2),數(shù)列的前項和為,求及使不等式對一切都成立的最小正整數(shù)的值;

(3),問是否存在,使得成立?若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形, ,側面底面, , , 分別為 的中點,點在線段上.

(1)求證: 平面;

(2)若直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等,求的值.

【答案】(1)證明見解析;(2) .

【解析】試題分析:

在平行四邊形中,由條件可得,進而可得。由側面底面,得底面,故得,所以可證得平面.(Ⅱ)先證明平面平面,由面面平行的性質可得平面.(Ⅲ)建立空間直角坐標系,通過求出平面的法向量,根據(jù)線面角的向量公式可得。

試題解析:

(Ⅰ)證明:在平行四邊形中,

, , ,

,

,

, 分別為 的中點,

,

∵側面底面,且,

底面,

底面,

,

, 平面, 平面,

平面

(Ⅱ)證明:∵的中點, 的中點,

,

平面, 平面,

平面

同理平面,

, 平面, 平面,

∴平面平面,

平面,

平面

(Ⅲ)解:由底面 ,可得 , 兩兩垂直,

建立如圖空間直角坐標系,

, , ,

所以, , ,

,則,

, ,

易得平面的法向量

設平面的法向量為,則:

,得,

,得,

∵直線與平面所成的角和此直線與平面所成的角相等,

,即

,

解得(舍去),

點睛用向量法確定空間中點的位置的方法

根據(jù)題意建立適當?shù)目臻g直角坐標系,由條件確定有關點的坐標,運用共線向量用參數(shù)(參數(shù)的范圍要事先確定確定出未知點的坐標,根據(jù)向量的運算得到平面的法向量或直線的方向向量,根據(jù)所給的線面角(或二面角)的大小進行運算,進而求得參數(shù)的值,通過與事先確定的參數(shù)的范圍進行比較,來判斷參數(shù)的值是否符合題意,進而得出點是否存在的結論。

型】解答
束】
21

【題目】如圖,橢圓上的點到左焦點的距離最大值是,已知點在橢圓上,其中為橢圓的離心率.

(1)求橢圓的方程;

(2)過原點且斜率為的直線交橢圓于、兩點,其中在第一象限,它在軸上的射影為點,直線交橢圓于另一點.證明:對任意的,點恒在以線段為直徑的圓內.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,側棱底面,底面為長方形,且,的中點,作于點.

(1)證明:平面;

(2)若三棱錐的體積為,求二面角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且=9,S6=60

(I)求數(shù)列{an}的通項公式;

II)若數(shù)列{bn}滿足bn+1bn=n∈N+)且b1=3,求數(shù)列的前n項和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某校高三年級實驗班與普通班共1000名學生,其中實驗班學生200人,普通班學生800人,現(xiàn)將高三一?荚嚁(shù)學成績制成如圖所示頻數(shù)分布直方圖,按成績依次分為5組,其中第一組([0, 30)),第二組([30, 60)),第三組([60, 90)),的頻數(shù)成等比數(shù)列,第一組與第五組([120, 150))的頻數(shù)相等,第二組與第四組([90, 120))的頻數(shù)相等。

(1)求第三組的頻率;

(2)已知實驗班學生成績在第五組,在第四組,剩下的都在第三組,試估計實驗班學生數(shù)學成績的平均分;

(3)在(2)的條件下,按分層抽樣的方法從第5組中抽取5人進行經(jīng)驗交流,再從這5人中隨機抽取3人在全校師生大會上作經(jīng)驗報告,求抽取的3人中恰有一個普通班學生的概率。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的一個頂點為A(0,-1),焦點在x軸上。若右焦點F到直線xy+2=0的距離為3。

(1)求橢圓的方程;

(2)設直線ykxm(k≠0)與橢圓相交于不同的兩點M、N。當|AM|=|AN|時,求m的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】四棱錐中,底面的菱形,側面為正三角形,其所在平面垂直于底面.

(1)若為線段的中點,求證:平面;

(2)若為邊的中點,能否在棱上找到一點,使平面平面?并證明你的結論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列滿足,,設

1)求;

2)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列,并說明理由;

3)求的通項公式.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案