【題目】設(shè)離心率為 的橢圓 的左、右焦點為 , 點P是E上一點, , 內(nèi)切圓的半徑為 .
(1)求E的方程;
(2)矩形ABCD的兩頂點C、D在直線上,A、B在橢圓E上,若矩形ABCD的周長為 , 求直線AB的方程.
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:
(1)要求E的方程,需求出。由直角三角形內(nèi)切圓半徑公式可得,所以依題意有又,由此解得,從而,由此可得橢圓的方程.
(2)由于ABCD為矩形,所以有∥,所以,設(shè)直線的方程為,代入橢圓的方程,整理得,再由弦長公式得出,又由∥,由平行線距離公式可得,由得,可將化簡為,再有由已知可得
即可解出得出直線AB的方程.
試題解析:
(1)直角三角形內(nèi)切圓的半徑
依題意有 ,又,由此解得,從而
故橢圓的方程為
(2)設(shè)直線的方程為,代入橢圓的方程,整理得,由得
設(shè),則,
而,由知
所以由已知可得,即,
整理得,解得或(舍去)
所以直線的方程為.
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【題目】已知橢圓的左,右焦點分別為.過原點的直線與橢圓交于兩點,點是橢圓上的點,若, ,且的周長為.
(1)求橢圓的方程;
(2) 設(shè)橢圓在點處的切線記為直線,點在上的射影分別為,過作的垂線交軸于點,試問是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
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【題目】已知不等式組 表示的平面區(qū)域為D,則
(1)z=x2+y2的最小值為 .
(2)若函數(shù)y=|2x﹣1|+m的圖象上存在區(qū)域D上的點,則實數(shù)m的取值范圍是 .
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【題目】某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示.
一次購物量 | 1至4件 | 5至8件 | 9至12件 | 13至16件 | 17件及以上 |
顧客數(shù)(人) | x | 30 | 25 | y | 10 |
結(jié)算時間(分鐘/人) | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.
(Ⅰ)確定x,y的值,并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)若某顧客到達(dá)收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算,且各顧客的結(jié)算相互獨立,求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率.
(注:將頻率視為概率)
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【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1= (n∈N*).
(1)求a2 , a3 , a4;
(2)猜測數(shù)列{an}的通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
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【題目】對一批產(chǎn)品的長度(單位:mm)進(jìn)行抽樣檢測,下圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn),產(chǎn)品長度在區(qū)間[20,25)上的為一等品,在區(qū)間[15,20)和區(qū)間[25,30)上的為二等品,在區(qū)間[10,15)和[30,35)上的為三等品.用頻率估計概率,現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件,則其為二等品的概率為( )
A.0.09
B.0.20
C.0.25
D.0.45
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【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域是D,若存在常數(shù)m、M,使得m≤f(x)≤M對任意x∈D成立,則稱函數(shù)f(x)是D上的有界函數(shù),其中m稱為函數(shù)f(x)的下界,M稱為函數(shù)f(x)的上界;特別地,若“=”成立,則m稱為函數(shù)f(x)的下確界,M稱為函數(shù)f(x)的上確界. (Ⅰ)判斷 是否是有界函數(shù)?說明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)=1+a2x+4x(x∈(﹣∞,0))是以﹣3為下界、3為上界的有界函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)若函數(shù) ,T(a)是f(x)的上確界,求T(a)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù) ,其中 (為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性,并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè),若函數(shù)對任意都成立,求的最大值.
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【題目】已知對任意平面向量 =(x,y),把 繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到的向量 =(xcosθ﹣ysinθ,xsinθ+ycosθ),叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ得到點P.
(1)已知平面內(nèi)點A(2,3),點B(2+2 ,1).把點B繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn) 角得到點P,求點P的坐標(biāo).
(2)設(shè)平面內(nèi)曲線C上的每一點繞坐標(biāo)原點沿順時針方向旋轉(zhuǎn) 后得到的點的軌跡方程是曲線y= ,求原來曲線C的方程.
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