【題目】已知橢圓的左,右焦點分別為.過原點的直線與橢圓交于兩點,點是橢圓上的點,若, ,且的周長為.
(1)求橢圓的方程;
(2) 設橢圓在點處的切線記為直線,點在上的射影分別為,過作的垂線交軸于點,試問是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
【答案】(1) ;(2)1.
【解析】試題分析; (1)設,則,∴ ,設, ,以及, ,由,由橢圓的定義可得,結(jié)合,綜合可得: ,可得橢圓的方程;
(2)由(1)知,直線的方程為: ,由此可得
.,又∵,∴ 的方程為,可得
則可得,又,∴ .,故.
當直線平行于軸時,易知,結(jié)論顯然成立.
綜上,可知為定值1.
試題解析:(1)設,則,∴,設,由,
,將代入,整體消元得:
,∴
由,且 ,∴ ,
由橢圓的對稱性知,
有,則
∵,綜合可得:
∴橢圓的方程為: .
(2)由(1)知,直線的方程為:
即: ,所以
∴.
∵,∴ 的方程為,令,可得,∴
則
又點到直線的距離為,∴.
∴.
當直線平行于軸時,易知,結(jié)論顯然成立.
綜上, .
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}是各項均不為0的等差數(shù)列.Sn為其前n項和,且滿足an2=S2n﹣1(n∈N*),bn=an2+λan , 若{bn}為遞增數(shù)列,則實數(shù)λ的范圍為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線l:ax﹣y+1=0與x軸,y軸分別交于點A,B.
(1)若a>0,點M(1,﹣1),點N(1,4),且以MN為直徑的圓過點A,求以AN為直徑的圓的方程;
(2)以線段AB為邊在第一象限作等邊三角形ABC,若a=﹣ ,且點P(m, )(m>0)滿足△ABC與△ABP的面積相等,求m的值.
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【題目】某工廠有一批貨物由海上從甲地運往乙地,已知輪船的最大航行速度為60海里/小時,甲地至乙地之間的海上航行距離為600海里,每小時的運輸成本由燃料費和其它費用組成,輪船每小時的燃料費與輪船速度的平方成正比,比例系數(shù)為0.5,其它費用為每小時1250元.
(1)請把全程運輸成本(元)表示為速度(海里/小時)的函數(shù),并指明定義域;
(2)為使全程運輸成本最小,輪船應以多大速度行駛?
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【題目】已知向量,,函數(shù)的最大值為.
(1)求的大小;
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位,再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的,縱坐標不變,得到函數(shù)的圖象,作出函數(shù)在的圖象.
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【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱CC1的中點,F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動點,且A1F∥平面D1AE,則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值t構(gòu)成的集合是( )
A.{t| }
B.{t| ≤t≤2}
C.{t|2 }
D.{t|2 }
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【題目】設離心率為 的橢圓 的左、右焦點為 , 點P是E上一點, , 內(nèi)切圓的半徑為 .
(1)求E的方程;
(2)矩形ABCD的兩頂點C、D在直線上,A、B在橢圓E上,若矩形ABCD的周長為 , 求直線AB的方程.
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