Question

3．如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2a，AA₁=3a．
（Ⅰ）求證：平面A₁BC₁⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）求點B₁到平面A₁BC₁的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，再證明：平面A₁BC₁⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）由${V_{{B_1}-{A_1}B{C_1}}}={V_{B-{A_1}{B_1}{C_1}}}$，求點B₁到平面A₁BC₁的距離．

解答 （Ⅰ）證明：長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴BB₁⊥A₁C₁…（2分）
又AB=BC=2a，A₁B₁C₁D₁是正方形，∴B₁D₁⊥A₁C₁…（3分）
∵B₁D₁∩BB₁=B₁，B₁D₁，BB₁?平面BB₁D₁D，∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D…（5分）
∵A₁C₁?平面A₁BC₁，∴平面A₁BC₁⊥平面BDD₁B₁…（6分）
（Ⅱ）解：長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2a，AA₁=3a，
則${A_1}B=B{C_1}=\sqrt{13}a，{A_1}{C_1}=2\sqrt{2}a$，…（7分）
于是△A₁BC₁的面積S=$\frac{1}{2}•2\sqrt{2}a•\sqrt{13{a^2}-2{a^2}}=\sqrt{22}{a^2}$…（9分）
記“點B₁到平面A₁BC₁的距離”為h，由${V_{{B_1}-{A_1}B{C_1}}}={V_{B-{A_1}{B_1}{C_1}}}$，
得$\frac{1}{3}×\sqrt{22}{a^2}×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2a×2a×3a$…（11分），解得$h=\frac{{3\sqrt{22}}}{11}a$…（12分）

點評 本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)以及點到面的距離和三棱錐的體積計算公式．是對立體幾何知識的綜合考查．