Question

15．設過曲線f（x）=e^x+x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上任意一點處的切線為l₁，總存在過曲線g（x）=2cosx-ax上一點處的切線l₂，使得l₁⊥l₂，則實數(shù)a的取值范圍為[-1，2]．

Answer 1

分析 求得f（x）的導數(shù)，設（x₁，y₁）為f（x）上的任一點，可得切線的斜率k₁，求得g（x）的導數(shù)，設g（x）圖象上一點（x₂，y₂）可得切線l₂的斜率為k₂，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，分別求y₁=a+2sinx₂的值域A，y₂=$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$的值域B，由題意可得B⊆A，可得a的不等式，可得a的范圍．

解答 解：f（x）=e^x+x的導數(shù)為f′（x）=e^x+1，
設（x₁，y₁）為f（x）上的任一點，
則過（x₁，y₁）處的切線l₁的斜率為k₁=e^x₁+1，
g（x）=2cosx-ax的導數(shù)為g′（x）=-2sinx-a，
過g（x）圖象上一點（x₂，y₂）處的切線l₂的斜率為k₂=-a-2sinx₂．
由l₁⊥l₂，可得（e^x₁+1）•（-a-2sinx₂）=-1，
即a+2sinx₂=$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$，
任意的x₁∈R，總存在x₂∈R使等式成立．
則有y₁=a+2sinx₂的值域為A=[a-2，a+2]．
y₂=$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$的值域為B=（0，1），
有B⊆A，即（0，1）⊆[a-2，a+2]，
即$\left\{\begin{array}{l}{a-2≤0}\\{a+2≥1}\end{array}\right.$，
解得-1≤a≤2．
故答案為：[-1，2]．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查任意存在性問題的解法，注意運用轉化思想和值域的包含關系，考查運算能力，屬于中檔題．