Question

過(guò)拋物線y=ax²（a＞0）的焦點(diǎn)F作一條斜率不為0的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AF、BF的長(zhǎng)分別為m、n，則

mn

m+n

等于（　�。�

• A、

  1

  2a

• B、

  1

  4a

• C、2a
• D、

  a

  4

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：根據(jù)拋物線方程可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)過(guò)F的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理后，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根據(jù)韋達(dá)定理可求得x₁x₂的值，又根據(jù)拋物線定義可知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1代入答案可得．

解答： 解：易知F坐標(biāo)（0，

1

4a

）準(zhǔn)線方程為x=-

1

4a

．÷
設(shè)過(guò)F點(diǎn)直線方程為y=kx+

1

4a

代入拋物線方程，得 ax²-kx-

1

4a

=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則有x₁x₂=

1

4

，x₁+x₂=

k

a

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+

1

2a

=

k2

a

+

1

2a

，
y₁y₂=(kx1+

1

4a

)(kx2+

1

4a

)=

1

16a2

，
根據(jù)拋物線性質(zhì)可知，m=y₁+

a

4

，n=y₂+

a

4

∴m+n=y₁+y₂+

a

2

=

k2+1

a

，
mn=y1y2+

1

4a

(y1+y2)+

1

16a2

=

k2+1

4a2

，
∴

mn

m+n

=

k2+1 4a2

k2+1 a

=

1

4a

故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的應(yīng)用和拋物線定義．對(duì)于過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線關(guān)系，常用拋物線的定義來(lái)解決．