Question

16．已知直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t-3}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以直角坐標系xOy中的原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸，圓C的極坐標方程為ρ²-4ρcosθ+3=0．
（1）求l的普通方程及C的直角坐標方程；
（2）P為圓C上的點，求P到l的距離的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t-3}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得l的普通方程，圓C的極坐標方程為ρ²-4ρcosθ+3=0，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ代入可得C的直角坐標方程．
（2）C的標準方程為（x-2）²+y²=1，圓心為C（2，0），半徑為1，求出點C到l的距離為d，可得P到l的距離的取值范圍是[d-r，d+r]．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t-3}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得l的普通方程為$\sqrt{3}$x-y+3$\sqrt{3}$=0，
圓C的極坐標方程為ρ²-4ρcosθ+3=0，可得C的直角坐標方程為x²+y²-4x+3=0．
（2）C的標準方程為（x-2）²+y²=1，圓心為C（2，0），半徑為1，
點C到l的距離為d=$\frac{|2\sqrt{3}-0+3\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴P到l的距離的取值范圍是$[\frac{5\sqrt{3}}{2}-1，\frac{5\sqrt{3}}{2}+1]$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．