Question

9．定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數f（x），如果對于任意給定的等比數列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比數列，則稱f（x）為“保等比數列函數”．現有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數：（1）f（x）=x²；（2）f（x）=x²+1；$（3）f（x）=\sqrt{|x|}$；（4）f（x）=ln|x|．則其中是“保等比數列函數”f（x）的序號為（　　）

• A． （1）（2）
• B． （3）（4）
• C． （1）（3）
• D． （2）（4）

Answer 1

分析 根據新定義“保比等比數列”，結合等比數列中項的定義a_n•a_n+2=a_n+1²，逐一判斷四個函數，即可得到結論．

解答 解：根據題意，由等比數列性質知a_n•a_n+2=a_n+1²，
（1）、f（x）=x²，f（a_n）f（a_n+2）=a_n²a_n+2²=（a_n+1²）²=f²（a_n+1），故（1）是“保等比數列函數”；
（2）、f（x）=x²+1，f（a_n）f（a_n+2）≠f²（a_n+1），故（2）不是“保等比數列函數”；
（3）、f（x）=$\sqrt{|x|}$，f（a_n）f（a_n+2）=$\sqrt{|{a}_{n}||{a}_{n+2}|}$=（$\sqrt{|{a}_{n+1}|}$）²=f²（a_n+1），故（3）是“保等比數列函數”
（4）、f（x）=ln|x|，則f（a_n）f（a_n+2）=ln（|a_n|）•ln（|a_n+2|）≠ln（|a_n+1|）²=f²（|a_n+1|），故（4）不是“保等比數列函數”；
故選：C．

點評 本題考查等比數列判定，涉及函數值的計算，理解“保等比數列函數”的定義是解題的關鍵．