【題目】三棱錐A﹣BCD及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，設(shè)M，N分別為線段AD，AB的中點(diǎn)，P為線段BC上的點(diǎn)，且MN⊥NP．

（1）證明：P是線段BC的中點(diǎn)；
（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．

【答案】
（1）證明：由三棱錐A﹣BCD及其側(cè)視圖、俯視圖可知，在三棱錐A﹣BCD中：

平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2

設(shè)O為BD的中點(diǎn)，連接OA，OC

于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OACBD⊥AC

因?yàn)镸，N分別為線段AD，AB的中點(diǎn)，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP

假設(shè)P不是線段BC的中點(diǎn)，則直線NP與直線AC是平面ABC內(nèi)相交直線

從而BD⊥平面ABC，這與∠DBC=60°矛盾，所以P為線段BC的中點(diǎn)


（2）解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，0， ），M（ ，O， ），N（ ，0， ），P（ ， ，0）

于是 ， ，

設(shè)平面ANP和平面NPM的法向量分別為 和

由 ，則 ，設(shè)z1=1，則

由 ，則 ，設(shè)z2=1，則

cos = = =

所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值


【解析】（1）用線面垂直的性質(zhì)和反證法推出結(jié)論，（2）先建空間直角坐標(biāo)系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】記max{x，y}= ，min{x，y}= ，設(shè) ， 為平面向量，則（ ）
A.min{| + |，| ﹣ |}≤min{| |，| |}
B.min{| + |，| ﹣ |}≥min{| |，| |}
C.max{| + |2 ， | ﹣ |2}≤| |2+| |2
D.max{| + |2 ， | ﹣ |2}≥| |2+| |2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的6組數(shù)據(jù)，得到一個(gè)變量關(guān)于的回歸方程模型，其對(duì)應(yīng)的數(shù)值如下表：

2

3

4

5

6

7

(1)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明與之間存在線性相關(guān)關(guān)系(當(dāng)時(shí)，說明與之間具有線性相關(guān)關(guān)系)；

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果，建立關(guān)于的回歸方程并預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的值為多少(精確到).

附參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：

，，相關(guān)系數(shù)公式為：.

參考數(shù)據(jù)：

，，，.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】5名師生站成一排照相留念，其中教師1人，男生2人，女生2人.

（1）求兩名女生相鄰而站的概率；

（2）求教師不站中間且女生不站兩端的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值；

（3）若是展開式中所有無理項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，數(shù)列是各項(xiàng)都大于1的數(shù)組成的數(shù)列，試用數(shù)學(xué)歸納法證明:.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，函數(shù)．

若的最大值為0，記，求的值；

當(dāng)時(shí)，記不等式的解集為M，求函數(shù)，的值域是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)；

當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)常數(shù)a使方程sinx+ cosx=a在閉區(qū)間[0，2π]上恰有三個(gè)解x1 ， x2 ， x3 ， 則x1+x2+x3= ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知向量，，，且 ， ，分別為△的三邊所對(duì)的角．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，，成等比數(shù)列，且， 求邊c的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

（1）若函數(shù)在時(shí)有極值，求表達(dá)式；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案