Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$|1-2x|+|2x+1|
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值m；
（Ⅱ）若正實(shí)數(shù)a，b滿足$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=m，且f（x）≤a+b對任意的正實(shí)數(shù)a，b恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）變形已知表達(dá)式，即可求函數(shù)f（x）的最小值m；
（Ⅱ）原命題等價(jià)于f（x）≤8，即$\frac{1}{2}|{1-2x}|+|{2x+1}|≤8$，利用x的范圍分類討論，求出實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$f（x）=|{x-\frac{1}{2}}|+|{2x+1}|=\left\{{\begin{array}{l}{3x+\frac{1}{2}，x≥\frac{1}{2}}\\{x+\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}≤x＜\frac{1}{2}}\\{-3x-\frac{1}{2}，x＜-\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，
可知當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值m等于1．…（5分）
（Ⅱ）由（1）知$\frac{1}{a}+\frac{2}=1$，
所以$a+2b=（a+2b）•（\frac{1}{a}+\frac{2}）=4+\frac{2a}+\frac{2b}{a}≥4+4=8$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號．
原命題等價(jià)于f（x）≤8，即$\frac{1}{2}|{1-2x}|+|{2x+1}|≤8$，
當(dāng)$x≥\frac{1}{2}$時(shí)，不等式等價(jià)于$x-\frac{1}{2}+2x+1≤8$，即$3x≤7\frac{1}{2}$，得$x≤\frac{5}{2}$，所以$\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{2}$，
當(dāng)$-\frac{1}{2}≤x＜\frac{1}{2}$時(shí)，不等式等價(jià)于$\frac{1}{2}-x+2x+1≤8$，即$x≤6\frac{1}{2}$，所以$-\frac{1}{2}≤x＜\frac{1}{2}$，
當(dāng)$x＜-\frac{1}{2}$時(shí)，不等式等價(jià)于$\frac{1}{2}-x-2x-1≤8$，即$3x≥-8\frac{1}{2}$，得$x≥-\frac{17}{6}$，
所以$-\frac{17}{6}≤x≤-\frac{1}{2}$，
所以原不等式的解集為$\left\{{x\left|{-\frac{17}{6}≤x≤\frac{5}{2}}\right.}\right\}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查絕對值不等式的解法，函數(shù)恒成立的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．