Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+n﹣1
（1）求證：數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項和前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+n﹣1，變形為an+1+（n+1）=2（an+n）．

∴數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列，其中首項為a1+1=2，公比為2；

（2）解：由（1）可得： ，∴ ．

∴Sn= =2n+1﹣2﹣

【解析】（1）由數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+n﹣1，變形為an+1+（n+1）=2（an+n）即可證明；（2）利用等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項和公式即可得出．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等比關(guān)系的確定的相關(guān)知識，掌握等比數(shù)列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進(jìn)行判斷，以及對數(shù)列的前n項和的理解，了解數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系．