精英家教網(wǎng)O是△ABC內(nèi)一點，
OA
+
OB
+
OC
=0，試證O為△ABC的重心．
分析：延長AO到E，使OE=AO，交BC于F，根據(jù)圖形的對稱性，欲證明O為△ABC的重心，只須證明AO所在的直線為△ABC的邊BC上的中線即可，結合向量的幾何意義，也就是要證明
OB
+
OC
=
OE
即可．
解答：精英家教網(wǎng)證明：如圖，延長AO到E，
使OE=AO，交BC于F，
則
OE
=-
OA
．
而由
OA
+
OB
+
OC
=0，
有
OB
+
OC
=-
OA
，∴
OB
+
OC
=
OE
，
∴四邊形OBEC為平行四邊形．
∴OE平分BC，即AO所在的直線為△ABC的邊BC上的中線．
同理可證，CO，BO所在的直線分別為AB，AC邊上的中線．∴O為△ABC的重心．
點評：本小題主要考查三角形重心、三角形重心的應用、向量加法的幾何意義等基礎知識，考查運算求解能力、轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A、B、C三點不共線，O是△ABC內(nèi)一點，若
OA
+
OB
+
OC
=
0
，則點O是△ABC的（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若O是線段AB上一點，則有|
OB
|•
OA
+|
OA
|•
OB
=
0
，將它類比到平面的情形是：若O是△ABC內(nèi)一點，則有
S△BOC
OA
+S△OAC
OB
+S△OAB•
OC
=
0
S△BOC
OA
+S△OAC
OB
+S△OAB•
OC
=
0
；將它類比到空間的情形應該是：若O是四面體ABCD內(nèi)一點，則有
VO-BCD
OA
+VO-ACD
OB
+VO-ABD
OC
+VO-ABC
OD
=
0
VO-BCD
OA
+VO-ACD
OB
+VO-ABD
OC
+VO-ABC
OD
=
0
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2007•南通模擬）已知O是△ABC內(nèi)一點，
OA
+
OC
=-3
OB
，則△AOB與△AOC的面積的比值為
1
3
1
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•西安二模）已知O是△ABC內(nèi)一點，向量
OA
，
OB
，
OC
滿足
OA
+2
OB
+
OC
=
0
，則S△OAB：S△OBC：S△OAC等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知O是△ABC內(nèi)一點，且滿足
OA
•
OB
=
OB
•
OC
=
OC
•
OA
，則O點一定是△ABC的（　　）

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