對于數列{un}若存在常數M＞0，對任意的n∈N'，恒有|un+1-un|+|un-un-1|+…+|u2-u1|≤M
則稱數列{un}為B-數列
（1）首項為1，公比為q（|q|＜1）的等比數列是否為B-數列？請說明理由；
（2）設Sn是數列{xn}的前n項和，給出下列兩組論斷；
A組：①數列{xn}是B-數列 ②數列{xn}不是B-數列
B組：③數列{Sn}是B-數列 ④數列{Sn}不是B-數列
請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結論組成一個命題．
判斷所給命題的真假，并證明你的結論；
（3）若數列{an}，{bn}都是B-數列，證明：數列{anbn}也是B-數列．
【答案】
分析：（1）根據B-數列的定義，首項為1，公比為q（|q|＜1）的等比數列，驗證|u
n+1-u
n|+|u
n-u
n-1|+…+|u
2-u
1|≤M即可；
（2）首項寫出兩個命題，根據B-數列的定義加以證明，如果要說明一個命題不正確，則只需舉一反例即可；
（3）數列{a
n}，{b
n}都是B-數列，則有|a
n+1-a
n|+|a
n-a
n-1|+…+|a
2-a
1|≤M
1，|b
n+1-b
n|+|b
n-a
n-1|…++|b
2-b
1|≤M
2，下面只需驗證|a
n+1b
n+1-a
nb
n|+|a
nb
n-a
n-1b
n-1|+…+|a
2b
2-a
1b
1|≤M．
解答：解（1）設滿足題設的等比數列為{a
n}，則a
n=q
n-1，于是|a
n-a
n-1|=|q
n-1-q
n-2|=|q|
n-2|q-1|，n≥2
因此|a
n+1-a
n|+|a
n-a
n-1|+…+|a
2-a
1|=|q-1|（1+|q|+|q|
2++|q|
n-1）．
因為|q|＜1，所以1+|q|+|q|
2+…+|q|
n-1=
，即|a
n+1-a
n|+|a
n-a
n1|+…+|a
2-a
1|＜
故首項為1，公比為q（|q|＜1）的等比數列是B-數列．
（2）命題1：若數列{x
n}是B-數列，則數列{S
n}是B-數列．
此命題為假命題．
事實上，設x
n=1，n∈N
•，易知數列{x
n}是B-數列，但S
n=n|S
n-1-S
n|+|S
n-S
n+1|+…+|S
2-S
1|=n
由n的任意性知，數列{S
n}是B-數列此命題為假命題．
命題2：若數列{S
n}是B-數列，則數列{x
n}是B-數列
此命題為真命題
事實上，因為數列{S
n}是B-數列，
所以存在正數M，對任意的n∈N
*，有|S
n+1-S
n|+|S
n-S
n-1|+…+|S
2-S
1|≤M
即|x
n+1|+|x
n|+…+|x
2|≤M．
于是|x
n+1-x
n|+|x
n-x
n-1|+…+|x
2-x
1|≤|x
n+1|+2|x
n|+2|x
n-1|+…+2|x
2|+2|x
1|≤2M+|x
1|
所以數列{x
n}是B-數列．
（3）若數列{a
n}{b
n}是B-數列，則存在正數M
1．M
2，
對任意的n∈N
•，有|a
n+1-a
n|+|a
n-a
n-1|+…+|a
2-a
1|≤M
1，|b
n+1-b
n|+|b
n-a
n-1|…++|b
2-b
1|≤M
2注意到|a
n|=|a
n-a
n-1+a
n-1+a
n-2+…+a
2-a
1+a
1|≤|a
n-a
n-1|+|a
n-1-a
n-2|+…+|a
2-a
1|+|a
1|≤M
1+|a
1|
同理：|b
n|≤M
2+|b
1|
記K
2=M
2+|b
2|，則有K
2=M
2+|b
2||a
n+1b
n+1-a
nb
n|=|a
n+1b
n+1-a
nb
n+1+a
nb
n+1-a
nb
n|≤|b
n+1||a
n+1-a
n|+|a
n||b
n+1-b
n|≤K
1|a
n+1-a
n|+k
1|b
n+1-b
n|
因此K
1（|b
n+1-b
n|+|b
n-b
n-1|+|a
2-a
1|）≤k
2M
1+k
1M
2+K
1（|b
n+1-b
n|+|b
n-b
n-1|+|a
2-a
1|）≤k
2M
1+k
1M
2故數列{a
nb
n}是B-數列．
點評：考查學生理解數列概念，靈活運用數列表示法的能力，旨在考查學生的觀察分析和歸納能力，特別是問題（2）（3）的設置，增加了題目的難度，綜合性較強，屬難題．
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，
的等比數列是否為B-數列？請說明理由；