Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）拋物線y²=4x共焦點(diǎn)，雙曲線與拋物線的一公共點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為2，雙曲線的離心率為e，則2e-b²的值是（　�。�

• A、

  2

  +1
• B、2

  2

  -2
• C、4-2

  2

• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì),雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）與拋物線y²=4x共焦點(diǎn)，可得a²+b²=1．設(shè)雙曲線與拋物線的一公共點(diǎn)為P（x₀，y₀）．（y₀＞0）．利用拋物線的性質(zhì)可得x₀+1=2，進(jìn)而得到y(tǒng)₀．把點(diǎn)P代入雙曲線方程再與可得a²+b²=1聯(lián)立解出即可．

解答： 解：由拋物線y²=4x可得焦點(diǎn)F（1，0），
又雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）與拋物線y²=4x共焦點(diǎn)，
∴a²+b²=1．
設(shè)雙曲線與拋物線的一公共點(diǎn)為P（x₀，y₀）．（y₀＞0）．
∵點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離為2，
∴x₀+1=2，解得x₀=1，
把x₀=1代入拋物線方程可得

y

2 0

=4×1，
解得y₀=2．
把點(diǎn)P（1，2）代入雙曲線方程可得

1

a2

-

4

b2

=1．
聯(lián)立

a2+b2=1 1 a2 - 4 b2 =1

，解得

a2=3-2 2 b2=2 2 -2

．
∴2e-b²=2

1 3-2 2

-(2

2

-2)=4．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查了雙曲線與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．