【答案】
分析:(1)(i)當(dāng)n=4時(shí),數(shù)列的公差d≠0,刪去的項(xiàng)只可能為a
2或a
3.分別討論推出數(shù)列的情況,然后求解
的值.
(ii)當(dāng)n≥6時(shí),從數(shù)列中刪去任意一項(xiàng)后得到的數(shù)列,必有原數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng),從而這三項(xiàng)既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列,數(shù)列的公差必為0,這與題設(shè)矛盾.推出數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n≤5.然后討論當(dāng)n=4,n=5時(shí),滿(mǎn)足題設(shè)的數(shù)列項(xiàng)數(shù)即可.
(2)首先找出一個(gè)等差數(shù)列b
1,b
2,…,b
n(n≥4)的首項(xiàng)b
1與公差d'的比值為無(wú)理數(shù),則此等差數(shù)列滿(mǎn)足題設(shè)要求.假設(shè)刪去等差數(shù)列b
1,b
2,…,b
n(n≥4)中的k(1≤k≤n-3)項(xiàng)后,新數(shù)列構(gòu)成等比數(shù)列,說(shuō)明新數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)為不滿(mǎn)足題意,然后推出首項(xiàng)
,公差d
′=1.相應(yīng)的等差數(shù)列
是一個(gè)滿(mǎn)足題設(shè)要求的數(shù)列.
解答:解:首先證明一個(gè)“基本事實(shí)”
一個(gè)等差數(shù)列中,若有連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列,則這個(gè)數(shù)列的公差d
=0.
事實(shí)上,設(shè)這個(gè)數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)a-d
,a,a+d
成等比數(shù)列,則a
2=(a-d
)(a+d
),由此得
,故d
=0.
(1)(i)當(dāng)n=4時(shí),由于數(shù)列的公差d≠0,故由“基本事實(shí)“推知,刪去的項(xiàng)只可能為a
2或a
3.
①若刪去a
2,則由a
1,a
3,a
4成等比數(shù)列,得
.
因d≠0,故由上式得a
1=-4d,即
.此時(shí)數(shù)列為-4d,-3d,-2d,-d,滿(mǎn)足題設(shè).
②若刪去a
3,則a
1,a
2,a
4由成等比數(shù)列,得
.
因d≠0,故由上式得a
1=d,即
.此時(shí)數(shù)列為d,2d,3d,4d滿(mǎn)足題設(shè).
綜上可知
的值為-4或1.
(ii)當(dāng)n≥6時(shí),則從滿(mǎn)足題設(shè)的數(shù)列a
1,a
2,a
3,…,a
n中刪去任意一項(xiàng)后得到的數(shù)列,必有原數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng),從而這三項(xiàng)既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列,故由“基本事實(shí)”知,數(shù)列a
1,a
2,a
3,…,a
n的公差必為0,這與題設(shè)矛盾.所以滿(mǎn)足題設(shè)的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n≤5.
又因題設(shè)n≥4,故n=4或n=5.
當(dāng)n=4時(shí),由(i)中的討論知存在滿(mǎn)足題設(shè)的數(shù)列.
當(dāng)n=5時(shí),若存在滿(mǎn)足題設(shè)的數(shù)列a
1,a
2,a
3,a
4,a
5則由“基本事實(shí)”知,刪去的項(xiàng)只能是a
3,從a
1,a
2,a
4,a
5而成等比數(shù)列,故
,
及
.分別化簡(jiǎn)上述兩個(gè)等式,得
及
,
故d=0.矛盾.因此,不存在滿(mǎn)足題設(shè)的項(xiàng)數(shù)為5的等差數(shù)列. 綜上可知,n只能為4.
(2)我們證明:若一個(gè)等差數(shù)列b
1,b
2,…,b
n(n≥4)的首項(xiàng)b
1與公差d'的比值為無(wú)理數(shù),
則此等差數(shù)列滿(mǎn)足題設(shè)要求.
證明如下:
假設(shè)刪去等差數(shù)列b
1,b
2,…,b
n(n≥4)中的k(1≤k≤n-3)項(xiàng)后,
得到的新數(shù)列(按原來(lái)的順序)構(gòu)成等比數(shù)列,
設(shè)此新數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)為b
1+m
1d',b
1+m
2d',b
1+m
3d'(0≤m
1<m
2<m
3≤n-1),于是有
,化簡(jiǎn)得
…(*)
由
知,
與m
1+m
3-2m
2同時(shí)為零或同時(shí)不為零.
若m
1+m
3-2m
2=0,且
,則有
,
即
,得m
1=m
3,從而m
1=m
2=m
3,矛盾.
因此,m
1+m
3-2m
2與
都不為零,故由(*)式得
…(**)
因?yàn)閙
1,m
2,m
3均為非負(fù)整數(shù),所以(**)式右邊是有理數(shù),
而
是一個(gè)無(wú)理數(shù),所以(**)式不成立.這就證明了上述結(jié)果.
因
是一個(gè)無(wú)理數(shù).因此,取首項(xiàng)
,公差d
′=1.
則相應(yīng)的等差數(shù)列
是一個(gè)滿(mǎn)足題設(shè)要求的數(shù)列.
點(diǎn)評(píng):本題以等差數(shù)列、等比數(shù)列為平臺(tái),主要考查學(xué)生的探索與推理能力.利用基本事實(shí),反證法的應(yīng)用,找出滿(mǎn)足題意的一個(gè)數(shù)列是解題的難點(diǎn)也是關(guān)鍵點(diǎn),本題屬難題.