Question

已知二次函數(shù)f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1
（1）若f（0）＞0，求實數(shù)p的取值范圍
（2）在區(qū)間[-1，1]內(nèi)至少存在一個實數(shù)c，使f（c）＞0，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由f（0）＞0得不等式，解出即可，
（2）由于二次函數(shù)f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1的圖象是開口方向朝上的拋物線，故二次函數(shù)f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1在區(qū)間
[-1，1]內(nèi)至少存在一個實數(shù)c，使f（c）＞0的否定為對于區(qū)間[-1，1]內(nèi)的任意一個x都有f（x）≤0，即f（-1），f（1）均小于等0，由此可以構造一個關于p的不等式組，解不等式組即可求出實數(shù)p的取值范圍．

解答： 解：（1）由f（0）＞0，
得：-2p²-p+1＞，
解得：-1＜p＜

1

2

，
（2）解：二次函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]內(nèi)至少存在一個實數(shù)c，
使f（c）＞0的否定是：
對于區(qū)間[-1，1]內(nèi)的任意一個x都有f（x）≤0，
∴

f(1)≤0 f(-1)≤0

即

4-2(p-2)-2p2-p+1≤0 4+2(p-2)-2p2-p+1≤0

，
整理得

2p2+3p-9≥0 2p2-p-1≥0

，解得p≥

3

2

，或p≤-3，
∴二次函數(shù)在區(qū)間[-1，1]內(nèi)至少存在一個實數(shù)c，
使f（c）＞0的實數(shù)p的取值范圍是（-3，

3

2

）．

點評：本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系，其中根據(jù)二次函數(shù)的圖象是開口方向朝上的拋物線，得到對于區(qū)間[-1，1]內(nèi)的任意一個x都有f（x）≤0時，

f(1)≤0 f(-1)≤0

是解答本題的關鍵．