Question

17．已知函數(shù)f（x）=（ax-1）e^2x+x+1（其中e為自然對(duì)數(shù)的e底數(shù)）．
（Ⅰ）若a=0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對(duì)?x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=0時(shí)，f′（x）=-2e^2x+1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）f′（x）=（2ax-2+a）e^2x+1，令g（x）=（2ax-2+a）e^2x+1，則g′（x）=4（ax-1+a）e^2x，由此利用分類討論思想，結(jié)合導(dǎo)數(shù)應(yīng)用能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）a=0時(shí)，f（x）=-e^2x+x+1，f′（x）=-2e^2x+1，
由f′（x）=0，解得x=-$\frac{ln2}{2}$，
當(dāng)x∈（-∞，-$\frac{ln2}{2}$）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（-$\frac{ln2}{2}$，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-$\frac{ln2}{2}$），單調(diào)減區(qū)間為（-$\frac{ln2}{2}$，+∞）．
（Ⅱ）f′（x）=（2ax-2+a）e^2x+1，令g（x）=（2ax-2+a）e^2x+1，
則g′（x）=4（ax-1+a）e^2x，
①若a≥1，當(dāng)x∈（0，+∞），g′（x）＞0，從而g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增且g（0）=a-1≥0，
∴x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）＞0即f′（x）＞0，從而f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增且f（0）=0，
∴x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞0恒成立，符合題意．
②若a≤0，則x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＜0恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，則g（x）＜g（0）=a-1，
即x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，此時(shí)f（x）＜f（0）=0，不符合題意．
③若0＜a＜1，由g′（x）=4（ax-1+a）e^2x=0，得x=$\frac{1}{a}-1$，且x∈（0，$\frac{1}{a}-1$），g′（x）＜0，
∴函數(shù)y=g（x）在（0，$\frac{1}{a}-1$）單調(diào)遞減．
∴x∈（0，$\frac{1}{a}-1$）時(shí)，g（x）＜g（0）=a-1＜0，即x$∈（0，\frac{1}{a}-1）$時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)y=f（x）在（0，$\frac{1}{a}-1$）單調(diào)遞減，
∴x∈（0，$\frac{1}{a}-1$）時(shí)，f（x）＜f（0）=0，不符合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想、分類與整合思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．