Question

【題目】平面上有個(gè)點(diǎn)，其中每?jī)牲c(diǎn)之間的連線均染成紅色或黑色.若圖中總存在兩個(gè)沒(méi)有公共邊的同色三角形，求的最小值.

Answer 1

【答案】8

【解析】

對(duì)于如圖的七個(gè)點(diǎn)，并將圖中的線畫(huà)成紅色，其余的線畫(huà)成黑色.

于是圖中所得到的四個(gè)三角形，其中任何兩個(gè)三角形都是有公共邊的紅色三角形.此外對(duì)四個(gè)黑三角形，也有一條公共邊，因此所求的最小正整數(shù).

下面證明時(shí)符合題目要求，用反證法.

假設(shè)對(duì)8個(gè)點(diǎn)每?jī)牲c(diǎn)的連線染成紅、黑兩色，但不滿足題目要求.

由于對(duì)于6個(gè)點(diǎn)，則必存在一個(gè)單色三角形，不妨設(shè)為紅三角形（圖中用實(shí)線連接）.

這時(shí)，考察除去，的其他6點(diǎn).即，，…，每?jī)牲c(diǎn)連線染成二色的圖形.由假設(shè)知，這6點(diǎn)存在的同色三角形只能是黑三角形，不妨設(shè)是黑三角形（圖中用虛線連接）.

再除去，，的其余5點(diǎn)，由假設(shè)知這5點(diǎn)不能有單色三角形，于是只能為如圖的情形，不妨設(shè)所連線為紅線，所連線為黑線.

這時(shí)，再考察由，，，，，這6點(diǎn)構(gòu)成的圖.由反證假設(shè)只能有兩個(gè)紅三角形，且這兩個(gè)紅三角形都以為公共邊，于是這兩個(gè)三角形只能是和.所以為紅邊，為紅邊.類(lèi)似地可證和為黑邊，此時(shí)若為紅邊則與為無(wú)公共邊紅三角形，若為黑邊，則與為無(wú)公共邊黑三角形，均與反證假設(shè)矛盾.

綜上，所求最小正整數(shù)為.