【題目】選修4﹣4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),在以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=sinθ.
(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)若射線l:y=kx(x≥0)與曲線C1 , C2的交點(diǎn)分別為A,B(A,B異于原點(diǎn)),當(dāng)斜率k∈(1, ]時(shí),求|OA||OB|的取值范圍.

【答案】
(1)解:曲線C1的直角坐標(biāo)方程為(x﹣1)2+y2=1,即x2+y2﹣2x=0,

∴曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣2ρcosθ=0,即ρ=2cosθ.

∵曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=sinθ,即ρ2cos2θ=ρsinθ,

∴曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2=y


(2)解:設(shè)射線l的傾斜角為α,

則射線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù), ).

把射線l的參數(shù)方程代入曲線C1的普通方程得:t2﹣2tcosα=0,

解得t1=0,t2=2cosα.

∴|OA|=|t2|=2cosα.

把射線l的參數(shù)方程代入曲線C2的普通方程得:cos2αt2=tsinα,

解得t1=0,t2=

∴|OB|=|t2|=

∴|OA||OB|=2cosα =2tanα=2k.

∵k∈(1, ],∴2k∈(2,2 ].

∴|OA||OB|的取值范圍是(2,2 ]


【解析】(1)先將C1的參數(shù)方程化為普通方程,再華為極坐標(biāo)方程,將C2的極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ,根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出C2的直角坐標(biāo)方程;(2)求出l的參數(shù)方程,分別代入C1 , C2的普通方程,根據(jù)參數(shù)的幾何意義得出|OA|,|OB|,得到|OA||OB|關(guān)于k的函數(shù),根據(jù)k的范圍得出答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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南方:158,170,166,169,180,175,171,176,162,163.

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