Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=

π

2

，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，EF∥BC，沿EF將梯形ABCD翻折，使AE⊥平面EBCF（如圖）．設(shè)AE=x，四面體DFBC的體積記為f（x）．
（1）寫(xiě)出f（x）表達(dá)式，并求f（x）的最大值；
（2）當(dāng)x=2時(shí)，求異面直線AB與DF所成角θ的余弦值．

Answer 1

分析：（1）過(guò)D作DH∥AE，則DG=AE，且DH⊥平面EBCF，由f（x）=V_D-BFC =

1

3

×S△BFC×DH 求出f（x）的解析式，
由二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值．
（2）過(guò)A作AG∥DF，連BG，則∠BAG即為異面直線AB與DF所成的角，求出此角所在三角形的三邊長(zhǎng)，余弦定理求得
θ的余弦值．

解答：解：（1）∵AE⊥平面EBCF，過(guò)D作DH∥AE，則DG=AE，且DH⊥平面EBCF，所以，
f（x）=V_D-BFC =

1

3

×S△BFC×DH=

1

3

×

1

2

×4×(4-x)×x 
=-

2

3

(x-2)2+

8

3

≤

8

3

，
即x=2時(shí)，f（x）有最大值為

8

3

．
（2）過(guò)A作AG∥DF，連BG，則∠BAG即為異面直線AB與DF所成的角
由x=2知EG=1，在△AEG中，AG²=2²+1²=5
在△BEG中，BG²=2²+1²=5，在△AEB中，AB²=2²+2²=8，
∴由余弦定理可得 cosθ=

8+5-5

2× 8 × 5

=

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求三棱錐的體積，求函數(shù)的最大值，求異面直線所成的角的余弦值，找出異面直線所成的角，是解題的
關(guān)鍵．