Question

11．若函數(shù)f（x）=cos2x+asinx在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最小值大于零，則a的取值范圍是（1，+∞）．

Answer 1

分析 將函數(shù)化簡只有一個函數(shù)名，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用三角函數(shù)的有界限，求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=cos2x+asinx
化簡可得：f（x）=1-2sin²x+asinx
∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上，
∴sinx∈[$\frac{1}{2}$，1]，
令sinx=t，（$\frac{1}{2}≤t≤1$）
函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化為g（t）=-2t²+at+1，（$\frac{1}{2}≤t≤1$）上的最小值大于零．
其對稱軸t=$\frac{a}{4}$，
當(dāng)$\frac{a}{4}≥\frac{3}{4}$時，即a≥3，g（$\frac{1}{2}$）最小值為$\frac{1}{2}+\frac{a}{2}$．
由題意：$\frac{a}{2}+\frac{1}{2}＞0$，可得：a＞-1，
∴a≥3．
當(dāng)$\frac{a}{4}≤\frac{3}{4}$時，即a≤3，g（1）最小值為a-1．
由題意：a-1＞0，可得：1＜a
∴3≥a＞1．
綜上可得a的取值范圍是（1，+∞）．

點評 本題考查了三角函數(shù)與二次函數(shù)的結(jié)合，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，討論在其范圍內(nèi)的最值問題．屬于難題．