Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的長為8，則p=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：拋物線的方程可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)斜率表示出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而利用配方法求得|x₁-x₂|，利用弦長公式表示出段AB的長求得p．

解答： 解：由題意可知過焦點(diǎn)的傾斜角為30°直線方程為y=

3

3

（x-

p

2

），
聯(lián)立

y2=2px y= 3 3 (x- p 2 )

可得：⇒x²-7px+

p2

4

=0，
∴x₁+x₂=7p，x₁x₂=

p2

4

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(7p)2-4× p2 4

=4

3

p，
∴|AB|=

1+( 3 3 )2

|x₁-x₂|=

2 3

3

×4

3

p=8，
解得：p=1，
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．涉及直線與拋物線的關(guān)系時(shí)，往往是利用韋達(dá)定理設(shè)而不求．