Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{2-x}，x＜2}\\{\frac{3}{4}{x}^{2}-3x+4，x≥2}\end{array}\right.$，若不等式a≤f（x）≤b的解集恰好為[a，b]，則b-a=4．

Answer 1

分析 通過(guò)作出函數(shù)y=f（x）的圖象，利用a≤2且f（a）=f（b）=b，可知b=4，a=0．

解答 解：因?yàn)閥=2^2-x=4×$（\frac{1}{2}）^{x}$的圖象在R上單調(diào)遞減，
且過(guò)定點(diǎn)（0，4），
y=$\frac{3}{4}$x²-3x+4的圖象是對(duì)稱軸為x=2，開口向上的拋物線，
所以容易得到函數(shù)y=f（x）的圖象，如圖，
且y=f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞減，
在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
因?yàn)椴坏仁絘≤f（x）≤b的解集恰好為[a，b]，
所以a≤2，且f（a）=f（b）=b，易知b=4，a=0，
所以b-a=4-0=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于分段函數(shù)的應(yīng)用題，考查數(shù)形結(jié)合能力，考查分析問(wèn)題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．